Katere so popolne številke v matematiki?

Vsak trenutek našega zemeljskega življenja se soočamo s številkami. Celo stari Grki so imeli gematria (numerologija). Za prikaz številk so bile uporabljene črke abecede. Vsako ime ali napisana beseda je ustrezala določeni številki. Za danes je znanost matematike dosegla zelo visoko stopnjo razvoja. Številke, uporabljene pri različnih izračunih, so tako številne, da so združene. Posebno mesto med njimi zasedajo popolna števila.

Izvor

V starodavni Grčiji so ljudje primerjali lastnosti številk v skladu z njihovimi imeni. V numerologiji so imeli posebno vlogo pri razdeljevalcih števil. V zvezi s tem so bile idealne (popolne) številke tiste, ki so bile enake vsoti njihovih deliteljev. Toda starodavni Grki niso vključili številke v deliteljih. Da bi bolje razumeli, katere so popolne številke, pokažimo s primeri.

Na podlagi te definicije je najmanjše število idealov 6, potem pa bo 28. potem 496.

Pitagor je verjel, da obstajajo posebne številke. Enako mnenje je delil Euclid. Za njih so bile te številke tako izredne in specifične, da so jih povezale z mističnimi. Takšna števila so ponavadi popolna. To je popolna številka za Pitagora in Euclida. Ti so vključevali 6 in 28.

Ključ

Matematiki vedno poskušajo najti skupni ključ za iskanje odgovora pri reševanju problema z več rešitvami.

Torej so iskali formulo, ki definira idealno število. Dobila pa se je le hipoteza, kar je bilo treba dokazati. Predstavljajte si, da ste že ugotovili, kakšne so popolne številke, so matematiki preživeli več kot tisoč let, da bi določili petino! Po 1500 letih je postalo znano.

Zelo pomemben prispevek k izračunim idealnega števila so znanstveniki Fermat in Mersen (XVII. Stoletje). Predlagali so formulo za njihov izračun. Zahvaljujoč francoskim matematikom in delom mnogih drugih znanstvenikov v začetku leta 2018 je število popolnih številk doseglo 50.

Napredek

Seveda, če je odprtje popolne številke, ki je že bil peti račun, vzel pol in tisočletje, danes pa se zahvaljujoč računalnikom izračunajo veliko hitreje. Odprtje 39. idealnega števila je na primer padlo na leto 2001. Ima 4 milijone znakov. Februarja 2008 smo odprli 44. popolno številko. Leta 2010 - 47. ideal in do leta 2018, kot je omenjeno zgoraj, je odprto 50. številka s statusom popolnosti.

Še ena zanimiva lastnost. Študenti, ki so popolna števila, so matematiki odkrili - vsi so celo.

Malo zgodovine

Nekaj ​​je neznano, ko so prvič opazili številke, ki ustrezajo idealu. Vendar pa se predlaga, da so bili tudi v starodavnem Egiptu in Babilonu prikazani na štetju prstov. In ni težko uganiti, kakšno popolno številko so predstavili. Seveda, to je bil 6. Do petega stoletja n.št. je bil račun hranjen s prsti. Če želite prikazati številko 6 na roki, je bil prstni obroč upognjen, drugi pa naravnani.

V starodavnem Egiptu je bil merilo dolžine komolec. To je bilo enako dolžini 28 prstov. In, na primer, v starodavnem Rimu je bil zanimiv običajni način - da na šesto mesto na počastitvah pripeljete častne in prepoznavne goste.

Pripadniki Pitagora

Pripadniki Pitagora so prav tako imeli idealne številke. Katera od številk je popoln po 28, je bila zelo zainteresirana za Euclid (IV stoletje pred našim štetjem). Dobil je ključ do iskanja idealne številke. Zanimanje je deveta knjiga evklidskih "Elementov". Med njegovimi izreki je tisti, ki pojasnjuje, da je popolna številka, ki ima izjemno lastnost:

vrednost p bo enaka izrazu 1 + 2 + 4 + hellip- + 2n, ki ga lahko zapišemo kot 2n + 1-1. To je glavno število. Toda že 2np bo popoln.

Da bi preverili to izjavo, moramo upoštevati vse ustrezne delitelje števila 2np in izračunati njihovo vsoto.

To odkritje domnevno pripada učencem Pitagora.

Euklidsko pravilo

Poleg tega je Euclid dokazal, da je oblika celo popolnega števila matematično predstavljena kot 2n-1 (2n-1). Če je n prime in 2n-1 je preprost.

Z Euclidovo pravilo Grški matematik Nikomach iz Gerase (I-II stoletje). Našel idealne številke kot 6, 28, 496, 8128. Nikomah Gerazsky govoril o idealnem številu kot pro je zelo lepa, vendar številčno majhna matematičnih konceptov.

En pol tisoč let kasneje je nemški znanstvenik Regiomontan (Johann Muller) odkril peto popolno število v matematiki. Bili so 33 550 336.

Nadaljnje raziskave matematike

Številke, ki veljajo za preproste in spadajo v serijo 2n-1, se imenujejo številki Mersenne. To ime jim je dano v čast francoskega matematika, ki je živel v XVII. Stoletju. Tisti, ki je leta 1644 odprl osmo popolno število.

250 let pozneje ruski učen matematik Pervushin IM od Permska pokrajina našli deveto idealno število.

Od leta 1952 so računalniki (elektronski računalniki) povezani s podobnimi matematičnimi preiskavami. Hitrost izračuna se je znatno povečala. Na primer, postalo je znano, da je za razliko od prvega idealnega števila 6, ki je nedvoumno, dvaindvajsetič v svojem arzenalu več kot 12.000 znakov!

Zgodovina šahovnice

Obstaja ena zelo zanimiva zgodba o šahovnici, kralju in žitu. Ko je kralj občudoval šahovsko igro, je kreatorju igre povabil, naj izbere nagrado. Potem se je žajbelj odločil za skromno, zdi se, nagrado - da bi postavil kletke šahovnice zrn. Presenečen je vrstni red postavitve: prvo zrno 1 zrno, drugo - 2, tretja kletka mora vsebovati 4, zato napolnite celotno ploščo. Zanimivo je, da je bilo v zadnjih 64 celicah 1 199 038 364 791, 120 ton, kar je 18 446 744 073 709 551 615 zrn.

Ta količina je približno 1800-krat višja od svetovne žetve, ki je bila zbrana za celotno človeško zgodovino.

Če vzamemo maso enega zrnja kot 0,065 g, potem bo skupna masa na šahovnici znašala 1.200 bilijonov ton.

Če bi zgradili žitnico za shranjevanje takšne količine žita, bi bila njegova velikost več kot Mount Everest: 10 x 10 x 15 (km) in v obsegu, bi to pomenilo približno 1.500 kmsup3-!

Numerologija

V numerologiji je tako kot najbolj popolna številka 108, ki prinaša uspeh. Njegove korenine gredo v vedsko kulturo. Verjamemo, da, če izvedete določeno dejanje točno 108-krat, se v tem primeru doseže določena raven popolnosti. Ta pogled je povezan z napravo človeškega spomina: razdeljen je na kratkoročni in stalni (notranji) pomnilnik. Torej je v notranjem spominu, da so ti koncepti postavljeni, da je oseba izpolnila 108-krat. Morda torej kroglice za molitev v klasični verziji vsebujejo točno 108 kroglic. Torej, potem ko preberete molitev v polnem krogu rozarn, postane del trajnega spomina osebe.

Mistika in dejstva

Da bi razumeli, ali je številka popolna, je treba izvesti določene izračune. Ni druge poti. In takšne številke so redke. Na primer, Pitagorov Iamblichus pisal o idealnem številu kot pojav, s katerim se srečujejo nešteto na nešteto nešteto, in nato iz nešteto nešteto na nešteto nešteto nešteto, in tako naprej. D. Vendar pa v izračunih preverjanja XIX stoletja so bile izvedene, ki je pokazala, da je odlično številke srečamo še redkeje. Torej, od 1020 do 1036 ni popolnega števila, in če sledite Iamblichu, potem mora biti štiri.

Najverjetneje je bilo težko najti takšne številke, ki so povzročile njihove mistične lastnosti. Čeprav, ki temelji na svetopisemski zgodbi, so njegovi raziskovalci prepričani, da je bil svet ustvarjen res lepa in popolna, saj se je število dni ustvarjanja - to je 6. Toda človek ni popoln, kot ustvari in živi v spodnjem delu sedmega. Vendar pa je njena naloga, da si prizadeva za odličnost.

Zanimiva dejstva so naslednja:

• 8 ljudi je bilo shranjenih v Noehovi Arki po poplavi. Tudi v njem je bilo shranjenih sedem parov čistih in nečistih živali. Če povzamemo vse preživele v Noehovi skrinji, se pojavi številka 28, kar je popolno.
• Roke človeka so odlično orodje. Imajo 10 prstov, ki imajo 28 falangov.
• Luna opravi okrožne vrtljaje vsakih 28 dni.
  

Pitagorejci št. 6 so bili psihogeni. Geometrijski simbol, ki ustreza 6, je heksagram.

Ko narišete kvadrat, lahko v njej potegnete diagonale. Potem bo enostavno videti, da so njene tocke povezane s 6 segmenti. Če naredite enako s kocko, dobite 12 robov in 16 diagonal (12 obrazov, 4 kocke). V seštevku dobimo 28. Analogna situacija bo s tetraedrom, katerega tocke so povezane s 6 robovi. Osončnik ima tudi vključenost v popolno število 28 (20 diagonal plus 8 strani). Sedemstranska piramida ima 7 robov in 7 strani baze s 14 diagonali. Skupno je to število 28.

Zanimive izračune

Torej, popolno število je število, enako vsoti delilnikov:

1 + 2 + 3 + hellip- + n

Dodajo se vsi deli, ki so manjši od števila.

Vsaka idealna številka, razen 6, je delna vsota vrste, ki jo sestavljajo neparne številke v tretji stopnji: 13 + 33 + 53 + hellip- nsup3-.

Druga presenetljiva lastnost teh številk je naslednja: Vsota obratnih iz deliteljev, vključno z enakim številom da vedno 2. Na primer, da 28, potem 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1 / 14 + 1/28 = 2.

Kot je bilo že rečeno, bodo vse številke, ki jih lahko najdemo z uporabo Euclidove formule, enake. Do zdaj ne poznamo čudnih idealnih številk. Seveda je pred kratkim prišlo do velikega preboj v znanosti matematike in še posebej pri odličnih številkah. Vendar pa problem preučevanja teh matematičnih konceptov ostaja odprt. Tudi če predpostavimo, da obstoj lihih popolnih števil, nato pa bo moral biti več kot 10 300 in najmanj 75, da prime deliteljev, glede na številčnost (9 izmed njih mora biti drugačna).

Prav tako je popolnoma nerazumljiv, ali je število popolnih številk končno ali pa je omejeno?

Vse celo popolne številke so enake vsoti zaporednih naravnih številk. Z drugimi besedami, so trikotne.

Številke, ki jih je mogoče zapisati kot 2p - 1, imenujemo številki Mersenne. Vsaka taka številka ima ustrezno popolno številko. Enako je mogoče reči ravno nasprotno: vsaka idealna številka ustreza številki Mersenne.

Drugo pomembno odkritje je bilo razmerje med binarno in popolno. Če pogledate natančno, vidimo povezavo z geometrijskim napredovanjem.

Poleg popolnega, je treba omeniti prijazne številke. To sta dve številki, za katera je pravilo tipično: vsak je enakovreden vsoti deliteljev drugega. Manjsi izmed njih sta 220 in 284. Pitiagorejci so bili znani. Imeli so status simbola prijateljstva. Naslednji par je bil odprt leta 1636. To je 17.296 in 18.416. Ta prijateljski par je postal znan po francoskem odvetniku in matematiku Pierre Ferme.

Toda leta 1867 je šokiral matematično svetovne novice iz šestnajstih italijanske Niccolo Paganini (soimenjak slavnega violinista), ki je poročal prijazno par številk 1184 in 1210. To je najbližje 220 in 284. Presenetljivo, nekaj spregledali vse ugledne matematike, ki proučuje prijateljsko število .