Realne številke in njihove lastnosti

Pitagora je trdil, da je številka leži na dnu sveta na enaki ravni z glavnimi elementi. Plato je verjel, da število povezuje pojav in noumenon, pomaga pri poznavanju, merjenju in oblikovanju sklepov. Aritmetika izhaja iz besede "aritmos" - številka, začetek se je začel v matematiki. Lahko opiše kateri koli predmet - od elementarnega jabolka do abstraktnih prostorov.

Potreba kot dejavnik razvoja

Na začetnih stopnjah oblikovanja družbe potrebe ljudi malo potrebo sedaj - .. zrno torba, dva zrna torba, itd Če želite to narediti, to je naravnih števil, množica, ki je neskončno zaporedje naravnih števil N.

Kasneje, z razvojem matematike kot znanosti, se je pojavilo potrebo po ločenem polju celih števil Z - vključuje negativne količine in nič. Njegov pojav na domačem nivoju je izzval dejstvo, da je bilo na primarnem računskem oddelku potrebno nekako popraviti dolgove in izgube. Na znanstveni ravni so negativne številke omogočile reševanje protozoanov linearne enačbe. Med drugim je zdaj postalo mogoče prikazati trivialni koordinatni sistem, ker se je pojavila referenčna točka.

Naslednji korak je bila potreba po vnosu delnih števil, ker znanost ni stala, vedno več novih odkritij je zahtevalo teoretično osnovo za nov zagon rasti. Torej je bilo polje racionalne številke Q.

Nazadnje, racionalnost ni več zadovoljila zahtevkov, ker so vsi novi sklepi zahtevali utemeljitev. Pojavilo se je polje realnih števil R, Euclidova dela na nesorazmernosti določenih količin zaradi njihove iracionalnosti. To pomeni, da so stari grški matematiki postavili številko ne le kot konstantno, temveč tudi kot abstraktno vrednost, za katero je značilno razmerje nezdružljivih količin. Zaradi dejstva, da so se pojavile prave številke, so bile »vidne« vrednosti, kot so »pi« in »e«, brez katerih sodobna matematika ni mogla biti izvedena.

Končna inovacija je bila kompleksno število C. Odgovarjal je na številna vprašanja in zavrnil že uvedene predpostavke. Zaradi hitrega razvoja algebre je bil rezultat predvidljiv - z resničnimi številkami je bila rešitev številnih problemov nemogoča. Na primer, zahvaljujoč zapletenim številom, teorija strun in kaos, so se enačbe hidrodinamike razširile.

Postavite teorijo. Cantor

Koncept neskončnosti je bil ves čas kontroverzen, saj ga ni bilo mogoče dokazati niti ovreči. V kontekstu matematike, ki je delovala s strogo preverjenimi postulati, se je to najbolj jasno pokazalo, zlasti ker je teološki vidik še vedno imel težo v znanosti.

Vendar, zahvaljujoč delu matematike Georga Cantorja, se je vse zgodilo s časom. Dokazal je, da obstaja neskončna množica neskončno množico in dejstvo, da je polje R večje od polja N, naj oba nima konca. Sredi XIX. Stoletja so njegove ideje glasno imenovale zaobljube in zločine zoper klasične, nepopravljive kanone, vendar je čas vse postavil na svoje mesto.

Osnovne lastnosti polja R

Realne številke ne vsebujejo le enake lastnosti kot podmapeje, ki so vključene v njih, temveč jih tudi dopolnjujejo zaradi težo njihovih elementov:

• Zero obstaja in spada v polje R. c + 0 = c za katerokoli c v R.
• Nič obstaja in spada v polje R. c x 0 = 0 za vsako c v R.
• Razmerje c: d za d ne-0 obstaja in je resnična za vsako c, d v R.
• Polje R je naročeno, to pomeni, če je c le d, d le c, nato c = d za katerikoli c, d v R.
• Dodajanje v polju R je komutativno, to je c + d = d + c za katerikoli c, d v R.
• Množenje v polju R je komutativno, to je cx d = dx c za poljuben c, d v R.
• Dodajanje v polju R je asociativno, to je, (c + d) + f = c + (d + f) za katerikoli c, d, f v R.
• Množenje v polju R je asociativno, to je (c x d) x f = c x (d x f) za vsako c, d, f v R.
• Za vsako številko iz polja R obstaja nasprotna, tako da c + (-c) = 0, kjer c, -c iz R.
• Za vsako številko v polju R obstaja inverzna taka, da c x c^-1 = 1, kjer so c, c^-1 iz R.
• Enota obstaja in spada v R, tako da c x 1 = c, za vsako c v R.
• Porazdelitveni zakon velja tako, da c x (d + f) = c x d + c x f, za vsako c, d, f v R.
• V polju R nič ni enak enemu.
• Polje R je prehodno: če je c le d, d le-f, nato c le-f za vsako c, d, f v R.
• V polju R sta vrstni red in dodatek medsebojno povezana: če je c le-d, nato c + f le-d + f za vsako c, d, f v R.
• V polju R je vrstni red in množenje medsebojno povezana: če je 0 le-c, 0 le-d, nato 0 le-c x d za vsako c, d iz R.
• Tako negativna kot pozitivna realna števila sta neprekinjena, to pomeni, da za vsako c, d v R obstaja f v R, tako da c Lef le- d.

Modul v polju R

Realne številke vključujejo takšno stvar kot modul. Označena je kot | f | za vsako f v R. | f | = f, če je 0 le-f in | f | = -f, če je 0> f. Če upoštevamo modul kot geometrijsko vrednost, je to prevožena razdalja - ni pomembno, če ste »minili« z ničlo v minus ali naprej v plus.

Kompleksne in realne številke. Kaj je običajno in kakšne so razlike?

Na splošno so zapletene in realne enake enake, razen da se je prva, ki je bila kvadratna -1, pridružila imaginarni enoti. Elementi polj R in C lahko predstavljamo kot naslednjo formulo:

• c = d + fx i, kjer d, f pripadata polju R, in i je imaginarna enota.

Če v tem primeru dobimo c iz R, se preprosto šteje, da je f enak nič, to pomeni, da ostane le dejanski del števila. Ker polje kompleksnih številk ima enako skupino lastnosti kot polje realnih števil, f x i = 0, če je f = 0.

V zvezi s praktičnimi razlikami, na primer v polju R kvadratna enačba Ni rešeno, če je diskriminant negativen, medtem ko polje C ne ustvarja takšne omejitve zaradi uvedbe imaginarne enote i.

Rezultati

"Opeke" aksiomov in postulati, na katerih temelji matematika, se ne spreminjajo. Nekateri med njimi v povezavi s povečanjem informacij in uvajanjem novih teorij postavijo naslednje "opeke", ki lahko v prihodnosti postanejo osnova za naslednji korak. Na primer, naravna števila, kljub temu, da so podmnožica dejanskega polja R, ne izgubijo ustreznosti. Na njih je osnovana vsa elementarna aritmetika, s katero se začne spoznavanje človeka sveta.

S praktičnega vidika dejanske številke izgledajo kot ravne črte. Na njem lahko izberete smer, označite izvor in korak. Ravna črta je sestavljena iz neskončnega števila točk, od katerih vsaka ustreza enemu realnemu številu, bodisi racionalno ali ne. Iz opisa je razvidno, da govorimo o pojmu, na katerem sta matematika na splošno in matematična analiza zlasti.