Opredelitev in velikost številke Graham

Na besedo »neskončnost« ima vsaka oseba svoja združenja. Mnogi v svoji domišljiji narišejo morje, ki presega obzorje, medtem ko imajo drugi pred svojimi očmi neskončno zvezdano nebo. Infinity of mathematics, ki so navajeni za delovanje s številkami, je na drugačen način precej drugačna. Že več stoletij se trudijo najti največjo fizikalno količino, potrebno za merjenje. Eden od njih je Grahamova številka. V tem članku bo razloženo, koliko ničle v njej in za kaj se uporablja.

Neomejeno veliko število

V matematiki je tako imenovana spremenljivka x_n, če za katero koli vnaprej določeno pozitivno število M lahko določimo naravno število N tako da je za vsa števila n večja od N, neenakost | x_n| | > M. Vendar pa nobenega, na primer, ničelnega števila Z ni mogoče šteti za neskončno veliko, saj bo vedno manjše od (Z + 1).

Nekaj ​​besed o "velikani"

Največje število, ki imajo fizični pomen, se šteje za:

• 10⁸⁰. To število, ki se običajno imenuje quinquivigillillion, je označeno kot približno število kvarkov in leptonov (drobnih delcev) v vesolju.
• 1 Gugol. Taka številka v decimalnem sistemu izračuna je zapisana kot enota s 100 ničli. Po nekaterih matematičnih modelov, saj je Big Bang, pred eksplozijo masivne črne luknje bi morali iti od 1 do 1,5 Googol let, po katerem naše vesolje vstopa v zadnjo fazo svojega obstoja, tj. E. Lahko se domneva, da je ta številka fizična pomen.
• 8,5 x 10¹⁸⁵. Planckova konstanta je 1,616199 x 10^-35 m, tj. v decimalnem zapisu izgleda, da je 0,00000000000000000000000000000616199 m. V 1 kubičnem metru. obstaja približno 1 googol Planck dolžine. Ocenjuje se, da se v našem celotnem vesolju lahko prilega približno 8,5 x 10¹⁸⁵ Dolžina planck.
• 2^{77 232 917} - 1. To je največje od znanih prvih števil. Če ima binarni zapis precej kompaktna oblika, potem bo za prikaz v decimalni obliki trajala najmanj 13 milijonov znakov. Ugotovljeno je bilo leta 2017 v okviru projekta, da bi našli številke Mersenne. Če navdušenci še naprej delujejo v tej smeri, potem na trenutni stopnji razvoja računalniške tehnologije v bližnji prihodnosti verjetno ne bodo mogli najti številko Mersenneja za več kot 2^{77 232 917} - 1, čeprav bo takšna srečna oseba prejela 150.000 $.
• Hugoplex. Tukaj, vse samo 1 in dodajte po njem ničle v količini 1 googol. To številko lahko napišete kot 10 ^ 10 ^ 100. V decimalni obliki ni mogoče opisati, kot da bi vse prostor vesolja izpolnite liste papirja, od katerih je vsaka od 0 do velikosti "vordovsky" font 10, in v tem primeru so bili pisno se lahko dosežejo le polovico vseh 0 po 1 za številko googolplex .
• 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. To je številka, ki prikazuje število let, skozi katera, glede na izrek Poincarja Naše vesolje kot posledica naključnih kvantnih nihanj se bo vrnilo v stanje, ki je blizu danes.

Kako so se pojavili številke Grahama?

Leta 1977 je bil znan popularizator znanosti Martin Gardner v reviji Scientific American objavila sporočilo o Grahamovem dokazu enega od problemov teorije Ramsayja. V njem je imenoval mejo, ki jo je določil znanstvenik, največje število, ki se je vedno uporabljalo v resnih matematičnih razlagah.

Kdo je Ronald Lewis Graham

Znanstvenik, ki je že več kot 80 let, se je rodil v Kaliforniji. Leta 1962 je prejel doktorat iz matematike Univerza v Berkeleju. 37 let je delal v Bellovem laboratoriju, kasneje pa se je preselil v ATT Labs. Znanstvenik je aktivno sodeloval z enim od največjih matematikov 20. stoletja Palom Erdesh in je dobitnik številnih prestižnih nagrad. V znanstveni bibliografiji Grahama je več kot 320 znanstvenih del.

V sredini sedemdesetih je znanstvenik zanimal problem, povezan s teorijo Ramseyja. S svojim dokazom je bila določena zgornja meja raztopine, kar je zelo veliko število, pozneje imenovan po Ronaldu Grahamu.

Problem s Hypercube

Da bi razumeli bistvo številke Graham, morate najprej razumeti, kako je bil sprejet.

Znanstvenik in njegov kolega Bruce Rothschild sta se ukvarjala s sledečim problemom:

• Obstaja n-dimenzionalna hiperkocka. Vsi pari njenih tock so povezani tako, da je celoten graf z 2ⁿ vrvi. Vsaka od njegovih robov je obarvana bodisi modro ali rdeče. Zahtevati je bilo, da najdejo najmanjše število tock v hiperkubi, tako da je vsaka taka barva vsebovala celoten enobarvni podgraf s 4 vozlišči, ki ležijo v eni ravnini.

Rešitev

Graham in Rothschild sta dokazali, da problem ima rešitev Nrsquo- izpolnjevanje pogoja 6 ⩽ Nrsquo- ⩽ N, kjer je N natančno definirano, zelo veliko število.

Spodnja meja za N je nato preveril drugimi raziskovalci dokazali, da mora biti n večji od ali enak 13. Tako izraz za najmanjše število vozlišč hiperkocko izpolnjuje pogoje zgoraj prikazano, dobljenega obliki 13 ⩽ Nrsquo-⩽ N.

Notranja izstopa Knuth

Preden določite številko Grahama, se morate seznaniti z metodo simbolične predstavitve, saj za to ni niti decimalno niti binarno zapisovanje.

Trenutno predstavlja to vrednost, običajno je uporabiti Knuthovo noto puščice. Po njenem mnenju:

a^b= "puščica navzgor" b.

Za delovanje večkratne izpostavljenosti je bil vstavljen zapis:

"puščica navzgor" "puščica navzgor" b = a^b= "stolp, sestavljen iz v količini b kosov."

In za pentacijo, to je simbolično oznako ponovnega dviga prejšnjega operaterja, je Knut uporabil 3 puščice.

Če uporabljamo takšno možnost za številko Grahama, imamo zaporedja »puščice«, ki so vgrajena v drugo, v številu 64 kosov.

Zoom

Njegova znana številka, ki vzburja domišljijo in razširja meje človeškega uma, ki ga pripelje onkraj vesolja, so Graham in njegovi kolegi so ga sprejeli kot zgornjo mejo za število N v dokaz težave Hypercube zgoraj predstavljena. Zamisliti si, kako velika je njegova lestvica navadni osebi, je zelo težko.

Vprašanje števila znakov, ali včasih napačno rečeno, ničel v številki Graham, je zanimivo za skoraj vsakogar, ki prvič sliši to velikost.

Dovolj je reči, da se ukvarjamo s hitro rastočim zaporedjem, ki ga sestavlja 64 članov. Tudi njegov prvi izraz ni mogoče zamisliti, ker je sestavljen iz n "stolpov", sestavljenih iz 3-k. Že svoje "spodnje nadstropje" 3 trojice je 7 625 597 484 987, kar je več kot 7 milijard, kar je 64. nadstropje (ni član!). Tako je nemogoče natančno povedati, kakšno je število Grahamovega števila, ker za izračun računov ne zadostujejo kombinirane zmogljivosti vseh računalnikov na Zemlji za danes.

Ali je zapis zlomljen?

Pri dokazovanju Kruskalove izreke je bila Grahamova številka "padla s podstavka". Znanstvenik je predlagal naslednjo nalogo:

• Obstaja neskončno zaporedje končnih dreves. Kraskal je dokazal, da vedno obstaja del nekaterih grafov, ki je del večjega grafa in njegove natančne kopije. Ta izjava ne vzbuja dvomov, saj je očitno, da v neskončnosti vedno obstaja natančno ponavljajoča se kombinacija.

Kasneje je Harvey Friedman nekoliko zmanjšal ta problem, upoštevajoč le takšne aciklične grafe (drevesa), da za določen od njih s koeficientom i obstajajo največ (i + k) točke. Odločil se je, da bi ugotovil, kakšno število acikličnih grafov bi moralo biti, tako da bi s to metodo njihove naloge vedno našli tako podtreko, ki bi bila vgrajena v drugo drevo.

Kot rezultat raziskave o tej temi je bilo ugotovljeno, da N, odvisno od k, narašča z izjemno hitrostjo. Zlasti če je k = 1, potem je n = 3. Vendar, če je k = 2, je N že dosegel 11. Najbolj zanimiv se začne, ko, N je k = 3. V tem primeru hitro "muhe" in doseže vrednost, ki daleč presega število Graham. Če si želite zamisliti, kako velik je, zadostuje, da zapisate število, ki ga je izračunal Ronald Graham kot G64 (3). Nato vrednost Friedman-Kruskal (odločitvijo. FinKraskal (3)), da ne bo reda G (G (187 196)). Z drugimi besedami, dosežena je mega-magnituda, ki je neskončno večja od nepredstavljivo velikega števila Grahamovih. Hkrati je celo ogromno število krat manjših od neskončnosti. O tem konceptu je smiselno govoriti bolj podrobno.

Infinity

Zdaj, ko smo razložili, kakšno je Grahamova številka na prstih, morate razumeti pomen, ki ste ga vložili v ta filozofski koncept. Navsezadnje se lahko "neskončnost" in "neskončno veliko število" v določenem kontekstu obravnavata enako.

Največji prispevek k preučevanju tega vprašanja je podal Aristotel. Veliki miselnik antike je razdelil neskončnost v potencialno in dejansko. Pod slednjim je pomenil resničnost obstoja neskončnih stvari.

Po Aristotelu so viri idej o tem temeljnem konceptu:

• čas;
• ločevanje količin;
• koncept meje in obstoj nečesa, ki presega njegove meje;
• neizčrpnost ustvarjalne narave;
• razmišljanje, ki nima meja.

V sodobni interpretaciji za neskončnost ni nobenega kvantitativnega ukrepa, zato se iskanje največjega števila lahko nadaljuje za vedno.

Zaključek

Ali je mogoče upoštevati metaforo "Pogled v neskončnost" in številko Grahama v smislu sinonimov? Namesto tega in da in ne. Obe je nemogoče predstavljati, tudi z najmočnejšo domišljijo. Vendar, kot je bilo že omenjeno, ga ni mogoče obravnavati kot "najbolj, najbolj." Druga stvar je, da trenutno vrednosti, ki so večje od številke Grahama, nimajo določenega fizičnega pomena.

Poleg tega nima takšnih lastnosti neskončne številke jen-, kot so:

• infin- + 1 = infin-;
• obstaja neskončno število neparnih in enakih številk;
• infin- - 1 = infin-;
• število neparnih številk je točno polovica vseh števil;
• infin- + infin- = infin-;
• infin- / 2 = infin-.

Če povzamemo: sama številka Grahama veliko število v praksi matematičnega dokaza, v skladu z Guinnessovo knjigo rekordov. Vendar pa so številke, ki so veliko večje od te vrednosti.

Najverjetneje bo v prihodnosti še večjih "velikanov" potrebnih, še posebej, če nekdo presega meje našega sončnega sistema ali namerava na sedanji ravni naše zavesti nekaj nepredstavljivo.