Vrste matrik. Stopni pogled na matriko. Zmanjšanje matrike v stopenjski in trikotni obliki

Matrika je poseben predmet v matematiki. Prikazana je v obliki pravokotne ali kvadratne mize, zložene iz določenega števila vrstic in stolpcev. V matematiki obstajajo številne vrste matrik, ki se razlikujejo po velikosti ali vsebini. Številke njenih vrstic in stolpcev se imenujejo naročila. Ti predmeti se uporabljajo v matematiki za organiziranje snemanja sistemov linearnih enačb in za udobno iskanje njihovih rezultatov. Enačbe, ki uporabljajo matriko, so rešene po metodi Karla Gaussa, Gabriela Kramerja, mladoletnikov in algebraičnih dopolnil ter tudi številnih drugih metod. Osnovna znanja pri delu z matricami je zmanjšanje na standardni pogled. Vendar pa za začetek, poglejmo, katere vrste matrik matematike lahko zagotovi.

Nič tipa

Vse sestavine te vrste matrike so ničle. Medtem je število njegovih vrstic in stolpcev popolnoma drugačno.

Kvadratni tip

Število stolpcev in vrst te vrste matrike je enako. Z drugimi besedami, to je tabela obrazca "kvadrat". Število njegovih stolpcev (ali vrstic) se imenuje vrstni red. Posebni primeri so obstoj matrice drugega reda (matrika 2x2), četrti vrstni red (4x4), deseti (10x10), sedemnajsti (17x17) in tako naprej.

Vektorski stolpec

To je ena najpreprostejših vrst matrik, ki vsebuje samo en stolpec, ki vključuje tri številčne vrednosti. Predstavlja vrsto prostih izrazov (številk, neodvisnih od spremenljivk) v sistemih linearnih enačb.

Vektorski niz

Pogled podoben prejšnjemu. Sestavljen je iz treh numeričnih elementov, ki jih nato organiziramo v eni vrstici.

Diagonalni tip

Numerične vrednosti v diagonalni obliki matriksa zajemajo samo komponente glavne diagonale (označene zeleno). Glavna diagonala se začne z elementom v zgornjem desnem kotu in se konča s številko v tretjem stolpcu tretje vrstice. Preostale komponente so nič. Diagonalni tip je samo kvadratna matrika nekega reda. Med matriko diagonalne oblike lahko izberemo skalarno matriko. Vse njene komponente imajo enake vrednosti.

Matrika identitete

Podvrsta diagonalne matrike. Vse njene numerične vrednosti so enote. Uporaba ene vrste matričnih tabel, izvedite svoje osnovne transformacije ali poiščite matriko, ki je inverzna na prvotno.

Canonical type

Kanonska oblika matrike se šteje za eno od osnovnih, zmanjšanje pa je pogosto potrebno za delo. Število vrstic in stolpcev v kanonični matriki je drugačno, vendar ne nujno pripadajo kvadratnemu tipu. Je nekoliko podoben matrični enoti, vendar v nobenem primeru ne sestavljajo vse komponente glavne diagonale enako eni vrednosti. Glavne diagonalne enote so lahko dve, štiri (vse je odvisno od dolžine in širine matrice). Ali enote sploh ne morejo obstajati (potem se šteje nič). Preostale komponente kanoničnega tipa, kot so elementi diagonale in enote, so nič.

Trikotni tip

Ena od najpomembnejših vrst matrike, ki se uporablja pri iskanju njegovega determinanta in pri preprostih operacijah. Trikotni tip izhaja iz diagonalnega tipa, zato je matrika tudi kvadratna. Trikotna oblika matrice je razdeljena na zgornje trikotne in spodnje trikotne.

V zgornji trikotni matriki (slika 1) samo elementi, ki so nad glavno diagonalo, imajo vrednost enako nič. Sestavine same diagonale in dela matrike pod njim vsebujejo številčne vrednosti.

V spodnjem trikotnem (slika 2), nasprotno, elementi, ki se nahajajo v spodnjem delu matrice, so enaki nič.

Korak Matrix

Pogled je potreben, da bi našli rang matrice, pa tudi za elementarne akcije na njih (skupaj s trikotnim tipom). Matrika koraka se imenuje tako, ker vsebuje značilne "korake" ničel (kot je prikazano na sliki). V koračni vrsti se oblikuje diagonala ničel (ne nujno glavnega), vsi elementi pod dano diagonalo pa imajo tudi vrednosti, ki so enake nič. Predpogoj je naslednji: če v matriki koraka obstaja ničelni niz, preostale vrstice pod njo tudi ne vsebujejo številčnih vrednosti.

Tako smo preučili najpomembnejše vrste matrik, potrebnih za delo z njimi. Zdaj pa preuči problem preoblikovanja matrike v zahtevano obliko.

Zmanjšanje na trikotno obliko

Kako priti matrico v trikotno obliko? Najpogosteje pri nalogah je potrebno matriko preoblikovati v trikotno obliko, da bi našla svoj determinant, ki se imenuje determinant na drug način. Izvajanje tega postopka je izjemno pomembno, da "ohranimo" glavno diagonalo matrice, ker je determinant trikotne matrike točno produkt sestavin njegove glavne diagonale. Spomnil bom tudi druge metode za iskanje determinante. Določitev kvadratnega tipa se najde s pomočjo posebnih formul. Na primer, lahko uporabite trikotnikovo metodo. Za druge matrike uporabite metodo razgradnje za vrstico, stolpec ali element. Uporabite lahko tudi metodo maloletnikov in dodajanja algebraičnih matrik.

Podrobno preuči postopek zmanjšanja matrike v trikotno obliko na primerih nekaterih nalog.

Naloga 1

Potrebno je najti determinant predstavljene matrice z uporabo metode, ki ga reducira v trikotno obliko.

Matrika, ki nam je dana, je kvadratna matrika tretjega reda. Zato, da bi ga pretvorili v trikotno obliko, moramo narediti dve komponenti prvega stolpca in eno komponento drugega stolpca nič.

Če ga želite pripeljati v trikotno obliko, začnite preoblikovanje iz spodnjega levega kota matrice - od številke 6. Če ga želite spremeniti na nič, pomnožite prvo vrstico s tremi in ga odštejte iz zadnje vrstice.

Pomembno! Zgornja vrstica se ne spremeni, vendar ostane enaka kot v prvotni matrici. Ni vam treba snemati črte, ki je štirikrat večja od prvotne. Toda vrednosti vrstic, katerih sestavni deli morajo biti nič, se nenehno spreminjajo.

Nato vzemimo naslednjo vrednost, ki je element druge vrstice prvega stolpca, z 8. Pomnožimo prvo vrstico s štirimi in jo odštejmo iz druge črte. Dobimo nič.

Ostaja samo zadnja vrednost - element tretje vrstice drugega stolpca. To število je (-1). Če ga želite spremeniti na nič, odšteje drugo od prve črte.

Opravite preverjanje:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Zato odgovor na nalogo: -22.

Dejavnost 2

Določitev matrike je treba najti z metodo zmanjšanja na trikotno obliko.

Predstavljena matrika spada v kvadratni tip in je matrika četrtega zaporedja. Zato je potrebno nič tri komponente prvega stolpca, dve komponenti drugega stolpca in ena komponenta tretje.

Začnemo z zmanjšanjem iz elementa v spodnjem levem kotu, od številke 4. To številko moramo spremeniti na nič. To je najprimernejše storiti tako, da pomnožimo štiri zgornje črte in ga nato odštejemo od četrtega. Zapišemo rezultat prve stopnje transformacije.

Tako je komponenta četrte vrstice nič. Premaknemo se na prvi element tretje vrstice, na številko 3. Izvajamo podobno operacijo. Pomnožite prve tri vrstice za tri, odštejte jih iz tretje vrstice in napišite rezultat.

Nato vidimo številko 2 v drugi vrstici. Ponovite postopek: pomnožite zgornjo vrstico z dvema in ga odštejte od druge.

Uspeli smo pretvoriti vse komponente prvega stolpca danega kvadratnega matriksa na nič, razen števila 1 - elementa glavne diagonale, ki ne zahteva preoblikovanja. Zdaj je pomembno, da ohranimo posledične ničle, zato bomo izvedli konverzije z nizi, ne stolpci. Prehodimo na drugi stolpec prikazane matrike.

Spet začnite od spodaj - iz drugega stolpca zadnje vrstice. To število je (-7). Vendar je v tem primeru primerneje začeti s številko (-1) - elementom drugega stolpca tretje vrstice. Če ga spremenimo na nič, odštejemo drugega od tretje vrstice. Potem pomnožite drugo vrstico za sedem in ga odštejete od četrte. Imamo nič, namesto elementa, ki se nahaja v četrti vrstici drugega stolpca. Zdaj pojdite na tretji stolpec.

V tem stolpcu potrebujemo samo eno številko - 4. To je preprosto: samo dodajte tretjo vrstico v zadnjo vrstico in si oglejte zahtevano ničlo.

Po vseh izvedenih transformacijah smo predlagano matrico zmanjšali na trikotno obliko. Zdaj, da bi našli svoj determinant, je potrebno samo pomnožiti nastale elemente glavne diagonale. Dobimo: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Zato je rešitev številka 160.

Torej, zdaj vprašanje vnašanja matrike v trikotni pogled vam ne bo otežilo.

Zmanjšanje na stopničasto obliko

V osnovnih operacijah na matrikah je stopenjska oblika manj "zahtevana" od trikotne. Najpogosteje se uporablja za razvrstitev matrike (to je število njenih ničelnih vrstic) ali za določitev linearno odvisnih in neodvisnih vrstic. Vendar je stopenjska oblika matrice bolj univerzalna, saj je primerna ne le za kvadratni tip, ampak tudi za vse druge.

Če želite matriko prenesti v stopničasto obliko, morate najprej določiti njen determinant. Za to so primerne zgornje metode. Namen ugotavljanja determinanta je ta: ugotoviti, ali je mogoče pretvoriti v stopenjsko obliko matrike. Če je determinant večji ali manjši od nič, potem lahko varno nadaljujete z nalogo. Če je enaka nič, ni mogoče zmanjšati matrike v stopničasti obliki. V tem primeru morate preveriti, ali so v zapisu zapisane napake ali v matričnih transformacijah. Če takšnih netočnosti ni, naloga ni mogoče rešiti.

Poglejmo, kako prinašati matriko v korak-obliko na primer več nalog.

Naloga 1. Poiščite uvrstitev v tej tabeli matrike.

Pred nami je kvadratna matrica tretjega reda (3x3). Vemo, da je treba najti rang, ki ga je treba pripeljati v stopenjsko obliko. Zato moramo najprej določiti determinant matrike. Uporabljamo metodo trikotnika: DETA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant je 12. Je večji od nič, zato se matrika lahko reducira na stopničasto obliko. Premakni se k njegovim preoblikovanjem.

Začnimo z levim stolpcem tretje vrstice - številko 2. Pomnožimo zgornjo vrstico za dva in jo odštejmo od tretje. Zahvaljujoč tej operaciji sta potrebni element in številka 4 - element drugega stolpca tretje vrstice - izginili.

Nato neveljavimo element druge vrstice prvega stolpca - številka 3. Če želite to narediti, pomnožite zgornjo vrstico s tremi in jo odštejte od druge.

Vidimo, da je zaradi zmanjšanja nastal trikotni matriks. V našem primeru transformacije ni mogoče nadaljevati, ker preostalih komponent ni mogoče zmanjšati na nič.

Tako sklepamo, da je število vrstic, ki vsebujejo numerične vrednosti v tej matriki (ali njeni uvrstitvi), 3. Odgovor na nalogo: 3.

Naloga 2. Določite število linearno neodvisnih vrst dane matrike.

Najti moramo vrstice, ki jih ni mogoče pretvoriti na nič, če bi se spremenile. Pravzaprav moramo najti število ątevilk, ki niso ątevilke, ali pa predstavljen rank matrike. Za to bomo to poenostavili.

Vidimo matriko, ki ne sodi v kvadratni tip. Merjenje je 3x4. Začnimo litje iz spodnjega levega kota - številka (-1).

Dodajte prvo vrstico na tretjo. Nato iz nje odštejmo drugo, da spremenimo število 5 na nič.

Nadaljnje preusmeritve so nemogoče. Zato sklepamo, da je število linearno neodvisnih vrst v njem in odgovor na nalogo 3.

Zdaj, ko matrika v stopničasto formo ni za vas neveljavna naloga.

Na primerih teh nalog smo analizirali redukcijo matrike v trikotno obliko in stopnični pogled. Da bi zmanjšali zahtevane vrednosti matričnih tabel na ničlo, je treba v nekaterih primerih prikazati domišljijo in pravilno pretvoriti njihove stolpce ali nizove. Želim vam uspeh pri matematiki in pri delu z matricami!