Sistemi linearnih algebrskih enačb. Homogeni sistemi linearnih algebrskih enačb

V šoli je vsakdo proučeval enačbe in verjetno sistem enačb. Toda mnogi ljudje ne vedo, da obstaja več načinov za njihovo reševanje. Danes bomo podrobno razpravljali o vseh metodah reševanja sistema linearnih algebrskih enačb, ki so sestavljene iz več kot dveh enakosti.

Zgodovina

Do danes je znano, da so umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvirala tudi v starodavnem Babilonu in Egiptu. Vendar pa se je enakost v njihovi običajni obliki pojavila po pojavu znaka enakosti "=", ki jo je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: to pomeni dva vzporedna enaka segmenta. Dejansko ni mogoče predstavljati najboljšega primera enakosti.

Ustanovitelj sodobnih abecednih oznak neznanih in znakov stopenj je francoski matematik Francois Viet. Vendar pa so se njegove oznake od danes bistveno razlikovale. Kvadrat neznanega števila je bil na primer označen z črko Q (latinski "quadratus") in kocko s črko C (latinski "cubus"). Te oznake se zdaj zdijo neudobne, potem pa je bilo to najbolj razumljiv način za pisanje sistemov linearnih algebrskih enačb.

Vendar je pomanjkljivost v takratnih metodah rešitve pomenila, da matematiki štejejo le pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativne vrednosti niso imele praktične uporabe. Kakorkoli, italijanski matematiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Rafael Bombelli v 16. stoletju so bili prvi, ki so upoštevali negativne korenine. Sodoben videz, glavna metoda rešitve kvadratne enačbe (prek diskriminanta) je nastal šele v 17. stoletju, zahvaljujoč delom Descartesa in Newtona.

Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Kramer našel nov način za lažje reševanje sistemov linearnih enačb. Ta metoda je bila poimenovana po njem in do danes ga uporabljamo. Ampak kasneje bomo govorili o Cramerjevi metodi, vendar bomo za zdaj razpravljali o linearnih enačbah in metodah za njihovo ločeno ločevanje od sistema.

Linearne enačbe

Linearne enačbe so najpreprostejše enačbe s spremenljivko (-ami). Razvrščene so kot algebrske. Linearne enačbe v splošni obliki vpišite na naslednji način: a₁* x₁+a_{2 *}x₂+...a_n* x_n= b. Predstavitev v tej obliki je potrebna za zbiranje sistemov in matric.

Sistemi linearnih algebrskih enačb

Opredelitev tega pojma je: to je niz enačb, ki imajo skupne neznane količine in skupno rešitev. V šoli so praviloma reševali sistemi z dvema ali tremi enačbami. Ampak obstajajo sistemi s štirimi ali več komponentami. Poglejmo si najprej, kako jih zapišemo, da bi ga bilo v prihodnosti primerno rešiti. Prvič, sistemi linearnih algebrskih enačb bodo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 in tako naprej. Drugič, vse enačbe je treba prenesti v kanonično obliko: a₁* x₁+a_{2 *}x₂+...a_n* x_n= b.

Po vseh teh ukrepih lahko začnemo povedati, kako najti rešitev za sisteme linearnih enačb. Zelo za to potrebujemo matrice.

Matrike

Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev in na njihovem križišču so njeni elementi. To so lahko posebne vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje, da označimo elemente, so postavljeni pod podmnožice (na primer, a₁₁ ali a₂₃). Prvi indeks je številka vrstice, drugi pa stolpec. Nad matriko, kot tudi nad katerim koli drugim matematičnim elementom, je mogoče izvesti različne operacije. Tako lahko:

1) Odštej in dodajte enake tabele velikosti.

2) Pomnožite matrico s številko ali vektorjem.

3) Prenos: pretvorite vrstice matrike v stolpce in stolpce - v vrsticah.

4) Pomnožite matrike, če je število vrst ene od njih enako številu stolpcev druge.

Podrobneje bomo razpravljali o teh tehnikah, saj bodo v prihodnosti koristni za nas. Odštevanje in dodajanje matrik je zelo preprosto. Ker vzamemo matrike enake velikosti, je vsak element ene mize v korelaciji z vsakim elementom drugega. Tako dodamo (odštejmo) ta dva elementa (pomembno je, da stojijo na istih mestih v matrikah). Ko pomnožite matrico s številom ali vektorjem, preprosto pomnožite vsak element matrike s to številko (ali vektorjem). Prenos je zelo zanimiv proces. Včasih je zelo zanimivo videti v resničnem življenju, na primer pri spreminjanju orientacije tabličnega računalnika ali telefona. Ikone na namizju so matrika in ko se položaj spremeni, se prenese in postane širše, vendar se zmanjša v višini.

Še vedno bomo analizirali takšen proces, kot množenje matrik. Čeprav to ni priročno, bo še vedno koristno vedeti. Pomnožite dve matriki samo, če je število stolpcev ene mize enako številu vrstic druge. Zdaj vzamemo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca drugega. Pomnožimo jih med seboj in jih nato dodamo (to je, na primer, produkt elementov a₁₁ in a_{12. mesto} pri b_{12. mesto} in b₂₂ bo: a₁₁* b_{12. mesto} + a_{12. mesto}* b₂₂). Tako dobimo en element tabele in ga napolnimo enako naprej.

Zdaj lahko začnemo razmišljati o tem, kako se reši sistem linearnih enačb.

Gaussova metoda

Ta tema se začne v šoli. Poznamo pojem »sistem dveh linearnih enačb« dobro in jih lahko rešimo. Kaj pa, če je število enačb večje od dveh? To nam bo pomagalo Gaussova metoda.

Seveda je primerna uporaba te metode, če izdelamo matriko iz sistema. Toda ne morete ga preoblikovati in rešiti v čisti obliki.

Torej, kako sistem linearnih Gaussovih enačb reši to metodo? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, je bila odkrita v antičnih časih. Gauss predlaga naslednje: za opravljanje operacij z enačbami, da bi sčasoma celoten agregat vodil v stopenjsko obliko. To pomeni, da bi moralo od vrha do dna (če je pravilno urejeno) od prve enačbe do zadnjega zmanjšalo za eno neznano. Z drugimi besedami, to moramo narediti tako, da dobimo, recimo, tri enačbe: v prvem - treh neznanih, v drugem - dveh, v tretjem - enem. Nato iz zadnje enačbe najdemo prvo neznano, nadomestimo njegovo vrednost v drugi ali prvi enačbi in nato poiščimo preostale dve spremenljivki.

Cramerjeva metoda

Če želite obvladati to metodo, je zelo pomembno, da imate spretnosti dodajanja, odštevanja matrik in tudi, da lahko najdete determinante. Zato, če to storite slabo ali ne veste, kako, boste morali učiti in vaditi.

Kaj je bistvo te metode in kako narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerovih enačb? Zelo je preprosto. Moramo graditi matriko števil (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih enačb. Če želite to narediti, preprosto vzemite številke pred neznanci in jih postavite v tabelo v vrstnem redu, da so zapisane v sistemu. Če je pred številko znak ";", napišite negativni koeficient. Torej, smo naredili prvo matriko koeficientov neznank, ne vključno s številko po enačaj (seveda, da je treba zmanjšati na kanonični obliki enačba, ko je pravica samo številka, in levo - vse neznanke s koeficienti). Potem moramo ustvariti nekaj več matrik, po eno za vsako spremenljivko. Če želite to narediti, zamenjajte vsak stolpec v prvi matriki s stolpcem stolpcev po enakem znaku. Tako dobimo več matrik in nato najdemo njihove determinante.

Ko smo ugotovili determinante, je to malo. Imamo začetno matriko in obstaja več izpeljanih matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da bi dobili sistemske rešitve, determinant pridobljene tabele delimo v determinant začetne tabele. Nastala številka je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznane.

Druge metode

Obstaja še nekaj drugih metod za pridobitev rešitve sistemov linearnih enačb. Na primer, tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev v sistemu kvadratnih enačb, je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijev način reševanja sistema linearnih algebrskih enačb. Je najbolj prilagodljiv za računalnik in se uporablja v računalniški tehnologiji.

Kompleksni primeri

Kompleksnost običajno nastane, če je število enačb manj kot število spremenljivk. Potem lahko za nekatere rečemo, da je bodisi sistem nezdružljiv (to pomeni, da nima korenin) ali število njegovih rešitev nagiba v neskončnost. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebovala bo vsaj eno spremenljivko.

Zaključek

Torej smo prišli do konca. Povzemimo: analizirali smo sistem in matriko, naučili pa smo se najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega smo razmislili tudi o drugih možnostih. Ugotovili so, kako je rešen sistem linearnih enačb: metoda Gauss in Cramerjeva metoda. Govorili smo o zapletenih primerih in drugih načinih iskanja rešitev.

Dejansko je ta tema veliko obsežnejša, in če jo želite bolje razumeti, priporočamo, da preberete bolj specializirano literaturo.