Matrična algebra: primeri in rešitve

Matice in determinante so odkrili v osemnajstem in devetnajstem stoletju. Sprva se je njihov razvoj nanašal na preoblikovanje geometrijskih predmetov in rešitev sistemov linearnih enačb. Zgodovinsko gledano, zgodnji poudarek je bil na determinantu. Pri sodobnih metodah obdelave linearne algebre se najprej upoštevajo matrike. Pomembno je razmisliti o tem vprašanju.

Odgovori na to področje znanja

Matrike zagotavljajo teoretično in praktično uporaben način reševanja številnih problemov, kot so:

• sistemi linearnih enačb;
• ravnovesje trdnih snovi (v fiziki);
• teorija grafov;
• model gospodarstva Leontiefa;
• gozdarstvo;
• računalniška grafika in tomografija;
• genetika;
• kriptografija;
• električna omrežja;
• fraktal.

Dejansko matrična algebra za "lutke" ima poenostavljeno definicijo. Izraženo je tako: to je znanstveno področje znanja, v katerem se preučujejo, analizirajo in preučujejo preučevane vrednosti v celoti. V tem delu algebre se proučujejo različne operacije na matricah, ki se preučujejo.

Kako delati z matricami

Te vrednosti veljajo enake, če imajo enake dimenzije in je vsak element enakovreden ustreznemu elementu drugega. Matriko je mogoče množiti s poljubno konstanto. To imenujemo skalarno množenje. Primer: 2 = [1234] = [2sdot-12sdot-32sdot-22sdot-4] = [2468].

Matrike iste velikosti se lahko dodajajo in odštejejo s pomočjo vhodov, vrednosti združljivih velikosti pa se lahko pomnožijo. Primer: dodajte dva A in B: A = [21minus-10] B = [1423]. To je mogoče, ker sta A in B - obe matriki dve vrstici in isto število stolpcev. Vsak element v A je treba dodati ustreznemu elementu v B: A + B = [2 + 11 + 2minus-1 + 40 + 3] = [3333]. Podobno se odšteje v matrični algebri.

Matrix množenje je nekoliko drugačna. Poleg tega se lahko določi primere in ena, kot tudi rešitve. Če pomnožimo matriko Ap * q in Bm * n, nato produkt Ap x q + Bm x n = [AB] p x n. Element vg-te vrstice in h-ti stolpec AB je vsota produktov ustreznih elementov vg A in h B. To je mogoče večkrat dveh matrik le, če je število stolpcev v prvi in ​​drugi vrstici enaka. Primer: da izpolnjuje pogoja A za obravnavano in B: A = [1minus-130] B = [2minus-11214]. To je mogoče, ker prva matrika vsebuje 2 stolpca, druga pa 2 vrstici. AB = [1sdot-2 + 3sdot-minus-1minus-1sdot-2 + 0sdot-minus-11sdot-1 + 3sdot-2minus-1sdot-1 + 0sdot-21sdot-1 + 3sdot-4minus-1sdot-1 + 0sdot-4 ] = [minus-1minus-27minus-113minus-1].

Osnovne matrične informacije

Te vrednosti organizirajo informacije, kot so spremenljivke in konstante, in jih shranjujejo v vrstice in stolpce, se jih običajno imenuje C. Vsako mesto v matriki se imenuje element. Primer: C = [1234]. Sestavljen je iz dveh vrstic in dveh stolpcev. Element 4 je v vrstici 2 in stolpcu 2. Običajno lahko po njenih dimenzijah poimenujete matriko, ki ima z imenom Cm * k m rows in k stolpci.

Razširjene matrice

Upoštevane vrednote so neverjetno uporabne stvari, ki se pojavljajo na številnih različnih uporabljenih področjih. Matrike so prvotno temeljile na sistemih linearnih enačb. Glede na naslednjo strukturo neenakosti je treba upoštevati naslednjo dopolnjeno matrico:

2x + 3y - z = 6

-x-y-z = 9

x + y + 6z = 0.

Zapišite koeficiente in vrednosti odgovorov, vključno z vsemi minus znaki. Če je element z negativnim številom, bo enak "1". To pomeni, da je glede na sistem (linearnih) enačb mogoče povezati z njo matriko (mrežo številk v oklepajih). To je tisto, ki vsebuje samo koeficiente linearnega sistema. To se imenuje "razširjena matrica". Mreža, ki vsebuje koeficiente z leve strani vsake enačbe, je bila "dopolnjena" z odgovori na desni strani vsake enačbe.

Zapisi, to je vrednosti matrike B, ustrezajo vrednostim x, y in z v prvotnem sistemu. Če je pravilno urejen, ga najprej preverite. Včasih je treba prerazporediti izraze ali vstaviti ničle kot zadrževalce v preučevani ali raziskani matrici.

Glede na naslednji sistem enačb lahko takoj napišemo povezano dopolnjeno matrico:

x + y = 0

y + z = 3

z-x = 2.

Najprej morate sistem preurediti kot:

x + y = 0

y + z = 3

-x + z = 2.

Potem obstaja možnost pisanja vezane matrike kot: [11000113-1012]. Ko oblikujete razširjeno, uporabite nič za noben zapis, kjer je ustrezna točka v sistemu linearnih enačb prazna.

Matrična algebra: lastnosti operacij

Če je potrebno oblikovati elemente le iz vrednosti koeficientov, bo obravnavana vrednost videti takole: [110011-101]. To se imenuje "koeficient matrike".

Ob upoštevanju naslednje razširjene algebre matrik je potrebno izboljšati in dopolniti povezani linearni sistem. Hkrati je pomembno, da se spomnimo, da je zanje potrebno, da so spremenljivke dobro in lepo poravnane. In ponavadi, če obstajajo tri spremenljivke, uporabite x, y in z v tem zaporedju. Zato mora biti povezan linearni sistem:

x + 3y = 4

2y-z = 5

3x + z = -2.

Matrična velikost

Za obravnavane elemente se pogosto sklicujejo njihovi kazalniki. Matrična velikost v algebi je podana v obliki merjenja, saj se prostor lahko imenuje drugače. Izmerjene vrednosti vrednosti so vrstice in stolpci, ne širine in dolžine. Na primer, matrika A:

[1234]

[2345]

[3456].

Ker ima A tri vrstice in štiri stolpce, je velikost A 3 × 4.

→

↓

Vrstice gredo bočno. Stolpci gredo navzgor in navzdol. "Niz" in "stolpec" so tehnični pogoji in niso zamenljivi. Dimenzije Matrice so vedno določene s številom vrstic in nato s številom stolpcev. Po tem sporazumu se naslednji B:

[123]

[234] je 2 × 3. Če ima matrika enako število vrstic kot stolpci, potem se imenuje "kvadrat". Na primer, vrednosti koeficientov od zgoraj:

[110]

[011]

[-101] je 3 × 3 kvadratna matrika.

Matrične oznake in oblikovanje

Opomba glede oblikovanja: na primer, ko je treba napisati matrico, je pomembno, da uporabite oklepaje []. Ploščice absolutne vrednosti || niso uporabljene, ker imajo v tem kontekstu drugačno smer. V nobenem primeru niso uporabljeni okrogli ali zaviti oklepaji {}. Ali pa kak drug simbol skupine ali sploh, ker te predstavitve niso pomembne. V algebri je matrika vedno znotraj kvadratni oklepaj. Uporabiti je treba le pravilno oznako ali se šteje, da so prejeti odgovori izkrivljeni.

Kot je bilo že omenjeno, so vrednote, ki so v matrici, ki se imenuje zapise. Iz kateregakoli razloga, so zadevni elementi običajno napisano z velikimi črkami, kot so A ali B, in evidence navesti z ustrezno male, ampak indeksov. Vrednosti matrici navadno imenujemo "ai, j", pri čemer je i - je linija A in j - stolpec A. Na primer, a3,2 = 8. Snemanje a1,3 je enak 3.

Za manjše matrike so tiste z manj kot desetimi vrsticami in stolpci včasih izpuščene vejice v spodnjem indeksu. Na primer, "a1,3 = 3" lahko zapišemo kot "a13 = 3". Očitno to ne bo delovalo za velike matrike, saj bo a213 nejasen.

Vrste matrik

Včasih so razvrščeni glede na konfiguracije svojih zapisov. Na primer, takšna matrika, ki ima vse ničelne vnose pod diagonalo iz "diagonale" zgoraj-levo-spodaj-desno, se imenuje zgornja trikotna matrika. Med drugim lahko obstajajo druge vrste in vrste, vendar niso zelo uporabne. Praviloma jih običajno zaznamujejo kot zgornji trikotni. Vrednosti z ničelnimi eksponenti samo vodoravno imenujemo diagonalno. Takšni tipi imajo nelojalne vnose, v katerih so vsi 1, ti odgovori imenovani enaki (iz razlogov, ki bodo postali jasni, ko se bodo naučili in razumeli, kako pomnožiti obravnavane vrednosti). Obstaja veliko podobnih raziskovalnih kazalnikov. Identiteta 3 × 3 označuje I3. Podobno je identiteta 4 × 4 enaka I4.

Algebra matrik in linearnih prostorov

Treba je opozoriti, da je trikotne kvadratne matrike. Toda diagonale trikotna. Glede na to so kvadratni. A identitete šteje diagonal in zato, trikotna in kvadratna. Ko želite opisati matriko, običajno preprosto določite svojo najbolj specifično razvrstitev, saj to pomeni vse druge. Poskrbi Te študije izvedbe: [[9 10 11 12] [5 6 7 8], [1 2 3 4]] mogoče kot 3 x 4. V tem primeru niso kvadrat. Zato vrednosti ne morejo biti nobene druge. Naslednja razvrstitev: [[9 4 0] [3 -2 3] [1 6 7]] je mogoče kot 3 x 3. Hkrati se je zdelo kvadrat, in ni nič posebnega. Razvrstitev naslednje podatke: [[8 -4 0] [0 1 2] [0 0 5]] kot 3 x 3 zgornje trikotnih, vendar ni diagonala. Res je, da v zadevnih vrednostih obstajajo dodatne ničle nad in nad določenim in določenim prostorom. Študija nadalje Klasifikacija: [[0 0 1] [1 0 0] [0 0 1]], kjer je zastopana kot diagonali, in sicer zapisovalna - vsi 1. Nato to 3 x 3 identiteta, I3.

Ker so podobne matrike po definiciji kvadrat, morate uporabiti samo en indeks, da bi našli svoje velikosti. Da sta dve matrici enaki, morajo imeti isti parameter in imeti enake zapise na istih mestih. Predpostavimo, da sta na primer upoštevana dva naslednja elementa: A = [[1 3 0] [-2 0 0]] in B = [[1 3] [-2 0]]. Te vrednosti ne morejo biti enake, ker so drugačne po velikosti.

Čeprav sta A in B enaka: A = [[3 junij] [2 5] [1 4]] in B = [[1 2 3] [4 5 6]] - še vedno niso enake. A in B imata šest vnosov in imajo enake številke, vendar to ni dovolj za matrike. A - 3 x 2. B - matrika 2 x 3. 3 x 2 x 2 ni enak 3. Pri tem ni pomembno, ali A in B enako število podatkov ali celo isto številko kot zapisa. Če A in B nimata enake velikosti in oblike, imajo enake vrednosti na podobnih mestih, niso enaki.

Podobne operacije na obravnavanem območju

Ta lastnost matrične enakosti se lahko spremeni v naloge za neodvisne raziskave. Na primer, dve matriki so podani in je označeno, da so enaki. V tem primeru boste morali uporabiti to enačbo za raziskovanje in pridobivanje odgovorov na vrednosti spremenljivk.

Primeri in rešitve matrik v algebri so lahko raznoliki, še posebej, če gre za enake. Glede na to, da upoštevamo naslednje matrike, je treba najti vrednosti x in y. Da sta A in B enaka, morajo imeti enako velikost in obliko. Pravzaprav so tako, ker je vsaka od njih 2 × 2 matriksa. In na istih mestih bi morali imeti enake vrednosti. Potem bi a1,1 biti B1,1, mora a1,2 biti b1,2 in tako. D. Navedbe a1,2 in a2,1 jasno je, oziroma, elementi in b1,2 b2,1 (po preverjanju, da je preprosto iščejo jih). Ampak, a1,1 = 1, seveda, ni enako b1,1 = x. Za A, ki je identičen B, mora imeti vnos a1,1 = b1,1, zato je lahko enak 1 = x. Podobno tudi indeksi a2,2 = b2,2, zato 4 = y. Potem je rešitev x = 1, y = 4. Glede na to, da so naslednje matrike enake, moramo najti vrednosti x, y in z. Da imajo A = B, morajo koeficienti imeti vse zapise enake. To pomeni, a1,1 = b1,1, a1,2 = b1,2, a2,1 = b2,1 in tako naprej. Zlasti mora:

4 = x

-2 = y + 4

3 = z / 3.

Kot je razvidno iz izbranih matrik: z 1,1-, 2,2- in 3,1-elementi. Reševanje teh treh enačb, smo dobili odgovor: x = 4, y = -6, in z = 9. Algebra matrike in operacije nad matrikami razlikujejo od tiste, na katero so vsi navajeni, vendar ne razmnozhaemy.

Dodatne informacije na tem področju

Linearna algebra matrike je proučevanje takih nizov enačb in njihovih lastnosti transformacije. To področje strokovnega znanja nam omogoča analizo vrtenja v prostoru približati najmanjših kvadratov rešitev vezanih diferencialnih enačb, ki določajo krog, ki poteka skozi tri danima točkama, in rešiti veliko drugih problemov matematike, fizike in tehnike. Linearna algebra matriks ni res tehničnem smislu, uporaba besed, da je vektorski prostor nad področja proti F in t. D.

Matrika in determinant sta izredno koristna orodja linearne algebre. Eden od osrednjih problemov je rešitev matrične enačbe A_x = b, za x. Čeprav se teoretično lahko teoretično reši z uporabo inverznega x = A^-1 b. Druge metode, kot je Gaussova eliminacija, so numerično bolj zanesljive.

Poleg tega bi lahko uporabljali za opisovanje učnih sklopov linearnih enačb zgoraj, se izraz uporablja tudi za posebno vrsto algebre. Še posebej, L nad poljem F ima obročno strukturo z vsemi običajnimi aksiomi za notranji dodatek in množenje skupaj z distribucijskimi zakoni. Zato ji daje več strukture kot obroč. Linearna algebra matrika omogoča tudi zunanjo množenje s skalarji, ki so elementi osnovnega področja F. Na primer, množica vseh transformacije v vektorski V na polje F tvori več F. drug primer linearne algebre je množica vseh realnega kvadrat matrike nad R realnih števil.