Cramerjeva metoda in njegova uporaba

Metoda Cramer je ena od natančnih metod za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE). Njegova natančnost je posledica uporabe determinant matrike sistema, pa tudi nekaterih omejitev, uvedenih v okviru dokaza izreka.

Sistem linearnih algebrskih enačb s koeficienti, ki pripadajo, na primer, množici R-realnih števil, od neznanih x1, x2, ..., xn je množica izrazov oblike

ai2 x1 + ai2 x2 + hellip-ain xn = bi za i = 1, 2, hellip-, m, (1)

kjer sta aij, bi realna števila. Vsak od teh izrazov se imenuje linearna enačba, aij - koeficienti za neznane, brezstopenjski koeficienti enačb.

Raztopino (1) iz n-dimenzionalna vektorja x ° = (x1 °, x2 °, hellip-, xn °), na kateri substitucija v sistem za neznanke X1, X2, ..., Xn, vsaka od vrstic v sistemu postane najbolje enakost.

Sistem naj bi bil združen, če ima vsaj eno rešitev in je nezdružljiv, če je njegova rešitev skladna s praznim nizom.

Ne smemo pozabiti, da morajo matriksi sistemov, da bi našli rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode, kvadratni, kar v bistvu pomeni enako število neznancev in enačb v sistemu.

Torej, za uporabo Cramerjeve metode, kaj je matrika sisteme linearnih algebrskih enačb in kako je zapisano. In drugič, razumeti, kaj se imenuje determinant matrice in poznati spretnosti njegovega izračuna.

Recimo, da imate to znanje. Čudovito! Potem si morate zapomniti formule, ki določajo metodo Cramerja. Za poenostavitev shranjevanja uporabljamo naslednjo notacijo:

• Det je glavni determinant sistemske matrike;

• deti je determinant matrice, pridobljene iz glavne matrike sistema, če zamenjamo i-stem matrike z vektorjem stolpcev, katerih elementi so desne strani sistemov linearnih algebrskih enačb;

• n je število neznancev in enačb v sistemu.

Nato je pravilo Cramerja za izračun i-ti komponent xi (i = 1, ... n) n-dimenzionalnega vektorja x zapisano v obliki

xi = deti / Det, (2).

Det je nenavadno.

Edinstvenost rešitve sistema, kadar je združljiva, zagotavlja, da je glavni determinant sistema nič. V nasprotnem primeru, če je vsota (xi), kvadrata, strogo pozitivna, potem bo SLAE s kvadratno matrico neskladen. To se lahko zgodi zlasti, če je vsaj eden od deti drugačen od nič.

Primer 1. Rešite tridimenzionalni sistem LAA z uporabo Cramerjevih formul.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Rešitev. Napišemo sistemsko matrično črto s črto, kjer je Ai i-ta vrstica matrike.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
Stolpec prostih koeficientov b = (31 29 10).

Glavni determinant sistema Det je
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1-20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

Za izračun det1 uporabimo zamenjavo a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. Potem
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Podobno za izračun det2 uporabimo zamenjavo a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 in s tem izračunamo det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Potem lahko preverite, ali det2 = -108 in det3 = -135.
V skladu z Cramerjevimi formulami najdemo x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

Odgovor: x ° = (3,4,5).

Na podlagi pogojev za uporabo tega pravila se lahko Cramerjeva metoda reševanja sistemov linearnih enačb uporabi indirektno, na primer z namenom, da se preuči sistem za morebitno število rešitev, odvisno od vrednosti določenega parametra k.

Primer 2. Določite, za katere vrednosti parametra k je neenakost | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 |<= 0 ima točno eno rešitev.

Rešitev.
Ta neenakost se lahko zaradi definicije modula funkcije izpolni le, če sta oba izraza istočasno nič. Zato se ta problem zmanjša pri iskanju rešitve linearnega sistema algebrskih enačb

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Rešitev tega sistema je edinstvena, če je njen glavni determinant
Det = k ^ {2} + 1 je nenavadno. Očitno je, da ta pogoj velja za vse realne vrednosti parametra k.

Odgovor: za vse realne vrednosti parametra k.

Težavam te vrste, veliko praktičnih problemov s področja matematike, fizike ali kemije.