Primeri sistemov linearnih enačb: metoda reševanja

Sistemi enačb se v matematičnem modeliranju različnih procesov pogosto uporabljajo na gospodarskem področju. Na primer, pri reševanju nalog vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (transportne naloge) ali namestitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le na področju matematike, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov pri ugotavljanju velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je potrebno najti splošno rešitev. Takšno zaporedje številk, za katere vse enačbe postanejo resnične enačbe ali dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax + by = c se imenujejo linearne. Označba x, y ni znana, katere vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti izraz enačbe.
Rešitev enačbe s konstrukcijo njenega grafika bo imela obliko ravni črti, katere vse točke so rešitev polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najenostavnejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1 (x, y) = 0 in F2 (x, y) = 0, kjer so F1,2 funkcije in (x, y) so funkcijske spremenljivke.

Rešite sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem pretvori v pravilno enakost ali ugotovi, da ni ustreznih vrednosti x in y.

Par vrednosti (x, y), zapisanih v obliki koordinat točke, imenujemo rešitev sistema linearnih enačb.

Če sistemi imajo eno skupno rešitev ali rešitve ne obstajajo, se imenujejo enakovredne.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desna oznaka za znak "enakost" vrednost ali je izražena s funkcijo, tak sistem ni homogen.

Število spremenljivk je lahko veliko večje od dveh, nato pa bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi spremenljivkami ali več.

Ob soočanju s sistemi študenti domnevajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznanih, vendar to ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, lahko jih je toliko, kot jim je všeč.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Za reševanje takšnih sistemov ni splošne analitične metode, vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. V šolskem matematičnem programu so podrobno opisane metode, kot so permutacija, algebrski dodatek, substitucija, grafična in matrična metoda, raztopina Gauss.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti, kako pravilno analizirati sistem in poiskati optimalni algoritem za vsak primer. Najpomembnejše je, da ne zapomnimo sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumemo načela uporabe te ali tiste metode

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb v 7. razredu splošnega šolskega programa je precej preprosta in podrobno razložena. V vsakem učbeniku matematike, ta oddelek je dovolj pozornosti. Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po metodi Gaussa in Kramerja podrobneje preučujemo na prvih tečajih visokošolskih zavodov.

Reševanje sistemov z zamenjavo

Ukrepi nadomestne metode so namenjeni izražanju vrednosti ene spremenljivke v drugem. Izraz je v preostali enačbi substituiran, nato pa se v obliko prenese z eno spremenljivko. Dejanje se ponovi, odvisno od števila neznank v sistemu

Dajemo rešitev primera sistema linearnih enačb sedmega razreda z nadomestno metodo:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena v smislu F (X) = 7 + Y. Rezultat, ki je bil zamenjan v drugi enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v drugi enačbi. Rešitev tega primera ne povzroča težav in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preveriti pridobljene vrednosti.

Rešitev primera sistema linearnih enačb s substitucijo ni vedno mogoča. Enačbe so lahko zapletene in se izraz izraza skozi drugo neznano izkaže za preveč težavno za nadaljnje izračune. Ko je v sistemu več kot 3 neznane, zamenjava ni priporočljiva.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev s pomočjo algebrskega dodatka

Pri iskanju rešitve sistemov z metodo dodajanja se izvede termično-dodatek in množenje enačb z različnimi številkami. Končni cilj matematičnih akcij je enačba z eno spremenljivko.

Praksa in opazovanje sta potrebna za uporabo te metode. Rešitev sistema linearnih enačb z metodo dodajanja za več spremenljivk 3 ali več ni enostavna. Algebarski dodatek je primeren, če so v enačbah prisotne frakcije in decimalne vrednosti.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določeno številko. Zaradi aritmetičnega delovanja mora biti eden od koeficientov za spremenljivko enak 1.
2. Končno dodajte nastali izraz in poiščite eno od neznanih.
3. Namestite to vrednost v drugo enačbo sistema in poiščite preostalo spremenljivko.

Metoda reševanja z uvedbo nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko vnesete, če je v sistemu treba najti rešitev za največ dve enačbi, število neznanih mora biti tudi največ dve.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z vnosom nove spremenljivke. Nova enačba je rešena glede na neznano in dobljena vrednost se uporablja za določitev začetne spremenljivke.

Iz primera je razvidno, da je bila z uvedbo nove spremenljivke t mogoče zmanjšati prvo enačbo sistema na standardni kvadratni trinomer. Odpravimo polinom tako, da poiščemo diskriminantno.

Vrednost diskriminanta je treba najti po znani formuli: D = b2 - 4 * a * c, kjer je D želeno diskriminantno, b, a, c so polinomski množitelji. V danem primeru je a = 1, b = 16, c = 39, zato je D = 100. Če je diskriminant večji od nič, potem sta dve raztopini: t = -b ± radik-D / 2 * a, če je diskriminant manjši od nič, potem je rešitev ena: x = -b / 2 * a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo dodajanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za sisteme s 3 enačbami. Metoda je sestavljanje grafov na koordinatni os grafov vsake enačbe, ki vstopajo v sistem. Koordinate točk presečišča krivulj u bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne odtenke. Preučimo več primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, saj je bila vsaka vrstica zgrajena dve točki, so vrednosti spremenljivke x izberemo poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x, ugot vrednosti za y: 3 in 0 točk s koordinatami (0, 3) in (3, 0) so bili označeni na grafu in povezani s črto.

Dejanje je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča črt je rešitev sistema.

V naslednjem primeru moramo najti grafično rešitev sistema linearnih enačb: 0,5x-y + 2 = 0 in 0,5x-y-1 = 0.

Kot lahko vidite iz primera, sistem nima rešitve, ker so grafi vzporedni in se ne presežejo po svoji dolžini.

Sistemi primerov 2 in 3 so podobni, vendar pri gradnji postane očitno, da so njihove rešitve drugačne. Treba je opozoriti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba izdelati urnik.

Matrica in njene variante

Za kratko snemanje sistema linearnih enačb se uporabljajo matrike. Matrika se imenuje miza posebne vrste, napolnjena s številkami. Matrika oblike n * m ima n - vrstice in m - stolpce.

Matrika je kvadratna, če je število stolpcev in vrst medsebojno enako. Matrični vektor je matrika ene stolpca z neskončnim številom vrstic. Matrika s tistimi na eni od diagonal in drugih ničelnih elementov se imenuje matrika enote.

Inverzna matrika je takšna matrika, pomnožena s katero se izvirna matrika spremeni v eno matriko, takšna matrika obstaja le za prvotno kvadratno matrico.

Pravila za preoblikovanje sistema enačb v matrico

Kar zadeva sisteme enačb, so koeficienti in prosti izrazi enačb zapisani kot številke matrike, ena enačba je ena vrstica matrike.

Vrstica matrike je neveljavna, če je vsaj en element v nizu nič. Zato, če je v kateri koli enačbi število spremenljivk drugačno, potem je treba na mestu manjkajočega neznanka napisati nič.

Stolpci stolpcev morajo strogo ustrezati spremenljivkam. To pomeni, da se lahko koeficienti spremenljivke x zapisujejo samo v enem stolpcu, na primer prvi, koeficient neznane y je le v drugem stolpcu.

Ko se matrika pomnoži, se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številko.

Variante iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je precej preprosta: K^-1= 1 / | K |, kjer je K^-1 - inverzna matrika in | K | matrična determinanta. | K | ne sme biti nič, sistem ima rešitev.

Determinant se zlahka izračuna za matriko po dveh do dveh, le diagonalno je treba pomnožiti elemente. Za "tri za tri" različico, formula | K | = a₁b₂c₃ + a₁b₃c₂ + a₃b₁c_{2 +} a₂b₃c₁ + a₂b₁c₃ + a₃b₂c₁. Lahko uporabite formulo, vendar se lahko spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov v delu ne ponovi.

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve omogoča zmanjšanje zapletenih zapisov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru a_nm - koeficienti enačb, matrika - vektor x_n - spremenljivke in b_n - brezplačni člani.

Nato moramo poiskati inverzno matrico in jo pomnožiti z izvirno matrico. Poiščite vrednosti spremenljivk v rezultatni matrični enoti je lahko izvedljiva naloga.

Rešitev sistemov po Gaussovi metodi

V višji matematiki se proučuje Gaussova metoda v povezavi s Cramerjevo metodo, postopek iskanja rešitev pa se imenuje tudi metoda rešitve Gauss-Cramerja. Te metode se uporabljajo pri iskanju spremenljivih sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam, ki uporabljajo permutacije in algebraično dodajanje, vendar je bolj sistematična. V šolskem tečaju se uporablja metoda Gauss za sisteme 3 in 4 enačb. Namen metode je, da se sistem prenese v obliki obrnjenega trapezija. Z algebraičnimi transformacijami in substitucijami se vrednost ene spremenljivke nahaja v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznanci, dobro, 3 in 4 - s 3 in 4 spremenljivkami.

Po zmanjšanju sistema v opisano obliko se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za razred 7 je primer rešitve z Gaussovo metodo opisan kot sledi:

Kot je razvidno iz primera, v koraku (3) dve enačbi 3x₃-2x₄= 11 in 3x₃+2x₄= 7. Rešitev katere koli enačbe bo omogočila poznati eno od spremenljivk x_n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, navaja, da če je ena od enačb sistema zamenjana z enakovrednim, potem bo nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Metoda Gaussa je za učence srednjih šol težavna, vendar je eden izmed najbolj zanimivih načinov za razvijanje pametnih otrok, ki študirajo po programu poglobljenega študija matematičnih in fizičnih razredov.

Za preprostost je običajno napisati izračune na naslednji način:

Koeficienti enačb in prostih izrazov so zapisani v obliki matrike, kjer je vsaka vrstica matrike povezana z eno od enačb sistema. Navpična črta levo stran enačbe loči od desne. Rimske številke označujejo število enačb v sistemu.

Najprej napišite matriko, iz katere želite delati, nato pa vse dejavnosti, izvedene z eno od vrstic. Dobljena matrika je zapisana za znakom "puščica" in nadaljuje z izvajanjem potrebnih algebraičnih dejanj, dokler ni dosežen rezultat.

Zato moramo pridobiti matriko, v kateri je ena od diagonalov 1 in vsi drugi koeficienti so nič, to pomeni, da se matrika zmanjša na eno samo obliko. Ne smemo pozabiti izračunati s števkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj zapleten in omogoča, da ga ne moremo motiti s štetjem številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve bo zahtevala skrb in določene izkušnje. Vse metode nimajo uporabne narave. Nekateri načini iskanja rešitev so bolj primerni na tem področju človeške dejavnosti, medtem ko drugi obstajajo za namene usposabljanja.