Metoda Gauss: primeri rešitev in posebni primeri

Metoda Gaussa, imenovana tudi po postopni odpravi neznanih spremenljivk, je poimenovana po uglednem nemškem znanstveniku K.F. Gauss, ki je med svojo življenje prejel neuradni naziv "kralj matematike". Vendar pa je bila ta metoda znana že pred rojstvom evropske civilizacije že v prvem stoletju. BC. e. starodavni kitajski znanstveniki jo uporabljajo v svojih spisih.

Gaussova metoda je klasična metoda reševanja sistemi linearnih algebrskih enačb (SLAU). Idealen je za hitro reševanje omejenih matrik.

Sama metoda je sestavljena iz dveh potez: neposrednega in vzvratnega. Neposredna vožnja je zaporedno vlivanje SLAU v trikotno obliko, to je vrednost nastavitve ničle, ki se nahaja pod glavno diagonalo. Povratna poteza pomeni zaporedno ugotovitev vrednosti spremenljivk, pri čemer vsako spremenljivko izrazi skozi prejšnjo.

Če želite izvedeti, kako uporabiti Gaussovo metodo v praksi, je preprosta, dovolj je poznati elementarna pravila razmnoževanja, dodajanja in odštevanja številk.

Da bi s to metodo pokazali algoritem za reševanje linearnih sistemov, upoštevamo en primer.

Torej, rešiti z uporabo Gaussove metode:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

V drugi in tretji vrstici se moramo znebiti spremenljivke x. Če želite to narediti, dodamo prvo, pomnoženo z -2 in -4, v tem zaporedju. Dobimo:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Zdaj pomnožite drugo vrstico s 5 in jo dodajte tretji:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Sistem smo prinesli v trikotni pogled. Zdaj se obračamo. Začnemo z zadnjo vrstico:
-3z = -18,
z = 6.

Druga vrstica:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Prva vrstica:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

V zamenjavo dobljenih vrednosti spremenljivk v začetnih podatkih smo prepričani, da je rešitev resnična.

Ta primer lahko rešijo številne druge zamenjave, vendar mora biti odgovor enak.

Dogaja se, da na prvi vodilni liniji obstajajo elementi s premajhnimi vrednostmi. Ni strah, vendar je precej zapleteno. Rešitev tega problema je metoda Gauss z izbiro glavnega elementa s kolono. Njeno bistvo je sestavljeno iz naslednjega: v prvi vrstici najdemo maksimalnega elementa, se stolpec, v katerem se nahaja, zamenja s prvim stolpcem, to pomeni, da naš maksimalni element postane prvi element glavne diagonale. Sledi standardni postopek izračuna. Če je potrebno, se lahko postopek zamenjave stolpcev ponovi.

Druga spremenjena Gaussova metoda je metoda Jordan-Gauss.

Uporablja se pri reševanju kvadratnega SLAU, pri iskanju inverzne matrike in uvrstitve matrike (število nenelnih vrstic).

Bistvo te metode je, da se prvotni sistem pretvori v matrično enoto s pomočjo transformacij z nadaljnjim iskanjem vrednosti spremenljivk.

Njen algoritem je naslednji:

1. Sistem enačb se tako kot v Gaussovi metodi zmanjša na trikotno obliko.

2. Vsaka črta je deljena z določeno številko, tako da se dobi enota na glavni diagonali.

3. Zadnja vrstica se pomnoži z določeno številko in odšteje od predzadnjega, s takim izračunom dobimo 0 na glavni diagonali.

4. Operacija 3 se ponavlja zaporedno za vse vrstice, dokler na koncu ne nastane enota matrike.