Sinus, kosinus, tangent: kaj je to? Kako najti sinus, kosinus in tangenta?

Eden od odsekov matematike, s katerim se učenci soočajo z največjimi težavami, je trigonometrija. To ni presenetljivo: za prosto obvladali to področje znanja, ki jih potrebuje za prostorsko razmišljanje, sposobnost najti sine, kosinus, tangens, kotangens formul za poenostavitev izraz, ki se bo lahko uporabil pri izračunu vrednosti Pi. Poleg tega morate pri dokazovanju izrekov uporabiti trigonometrijo, kar zahteva bodisi napreden matematični pomnilnik bodisi sposobnost pridobivanja zapletenih logičnih verig.

Izvor trigonometrije

Znanje s to znanostjo bi se moralo začeti z opredelitvijo sinus, kosinus in tangento kota, vendar najprej moramo razumeti, kakšna trigonometrija na splošno.

Zgodovinsko gledano je bil glavni cilj raziskave v tem delu matematične znanosti pravokotni trikotniki. Prisotnost kota 90 stopinj omogoča izvedbo različnih postopkov, ki omogočajo določitev vrednosti vseh parametrov zadevne številke na dveh straneh in v enem kotu ali na dveh kotih in na eni strani. V preteklosti so ljudje opazili ta vzorec in jo aktivno začeli uporabljati pri gradnji zgradb, plovbe, astronomije in celo umetnosti.

Začetna faza

Na začetku so ljudje govorili o razmerju kotov in straneh izključno na primer pravokotnih trikotnikov. Nato so se odprle posebne formule, ki so omogočale razširitev meja uporabe v vsakdanjem življenju tega dela matematike.

Študija trigonometrije v šoli se danes začne s pravokotnimi trikotniki, po kateri študenti uporabljajo znanje iz fizike in rešujejo abstraktne trigonometrične enačbe, delo s katerimi se začne v zgornjih razredih.

Sferična trigonometrija

Kasneje, ko je znanost vstopila v naslednjo stopnjo razvoja, s formulo sinus, kosinus, ki se dotika, so kotangens uporablja pri sferični geometriji, kjer obstajajo različna pravila, in vsota kotov v trikotniku je vedno večji od 180 stopinj. Ta oddelek se ne učijo v šoli, ampak vedeti o njegovem obstoju, mora biti minimalna, ker površina Zemlje, površina katerega koli drugega planeta, je konveksna, zato bodo vse površinske oznake v tridimenzionalnem prostoru "loka".

Vzemite si svet in nit. Pritrdite nit na dve točki na globusu, da se raztegne. Bodite pozorni - našel je obliko loka. S takimi oblikami se uporablja sferična geometrija, ki se uporablja pri geodeziji, astronomiji in drugih teoretičnih in aplikativnih področjih.

Pravokotni trikotnik

Nekaj ​​metode za spoznavanje uporabo trigonometrije, se vrnemo k osnovni trigonometrije nadalje razumeti, kaj sine, kosinus, ki se dotika, lahko nekateri izračuni jih uporabljajo za izvajanje in kakšno formulo, kjer uporaba.

Najprej je treba razumeti pojme, povezane s pravokotnim trikotnikom. Prvič, hipotenuza je stran, ki leži nasproti kotu 90 stopinj. Najdaljša je. Spomnimo se, da je s pomočjo Pythagoreanovega izreka njegova numerična vrednost enaka korenu vsote kvadratov drugih dveh strani.

Na primer, če sta obe strani 3 in 4 cm, je dolžina hipotenuze 5 centimetrov. Mimogrede so stari Egipčani vedeli o tem približno štiri tisoč let in pol.

Dve preostali stranici, ki tvorita pravi kot, se imenujejo cathetts. Poleg tega ne smemo pozabiti, da je vsota kotov v trikotniku v pravokotnem koordinatnem sistemu 180 stopinj.

Opredelitev

Nazadnje, trdno razumevanje geometrijske osnove, se lahko obrnete na definicijo sinus, kosinus in tangento kota.

Sinus kota je razmerje nasprotne noge (tj. Stran nasproti želenega kota) do hipotenuse. Kosinus kota je razmerje sosednje noge do hipotenuse.

Ne pozabite, da niti sinus niti kosinus ne smejo biti večji od enega! Zakaj? Ker je hipotenuza po privzeti najdaljši stran pravokotnega trikotnika. Ne glede na to, koliko časa je katet, bo krajši od hipotenuze, kar pomeni, da bo njihovo razmerje vedno manj kot eno. Če imate v odgovoru na težavo sinusno ali kosinusno vrednost, ki je večja od 1, poiščite napako pri izračunih ali sklepanju. Ta odgovor je nedvoumno napačen.

Končno je tangenta kota razmerje nasprotne strani s sosednjo stranjo. Isti rezultat bo povzročil delitev sinusov s kosinusom. Poglej: po formuli delimo dolžino strani s hipotenuzo, nato pa delimo po dolžini druge strani in pomnožimo s hipotenuzo. Tako dobimo enako razmerje kot v definiciji tangente.

Cotangent je razmerje med stranico, ki meji na vogal na nasprotno stran. Enak rezultat dobimo tako, da enoto razdelimo s tangento.

Torej smo razmišljali o definicijah, kaj so sinusni, kosinusni, tangentni in sotangentni, in lahko obravnavamo formule.

Najenostavnejše formule

V trigonometriji ne morete storiti brez formul - kako najti sinuso, kosinus, tangento, kotangent brez njih? Toda to je potrebno za reševanje problemov.

Prva formula, ki jo morate vedeti, ko začnete spoznavati trigonometrijo, je, da je vsota kvadratov sinusnega in kosinusnega kota enaka. Ta formula je neposredna posledica pihagorejske izreke, vendar prihrani čas, če želite izvedeti obseg kota in ne stran.

Mnogi študenti ne morejo zapomniti druga formula je prav tako zelo priljubljena pri reševanju problemov v šolah: količina enot in kvadratni tangento je enaka eni deljena s kvadratom kosinusa kota. Bodite podrobnejši: to je ista izjava kot v prvi formuli, samo obe strani identitete sta bili razdeljeni na kvadrat kosinusa. Izkazalo se je, da je preprosta matematična operacija tvorba trigonometrične formule popolnoma neprepoznavna. Ne pozabite, da vedo, kaj je sine, kosinus, tangens in kotangens, pravila transformacije, in nekaj osnovnih formule, se lahko vedno prinese sami zahtevajo bolj zapletene formule na kos papirja.

Dvojne kotne formule in dodajanje argumentov

Še dve formuli, ki jih želite izvedeti, sta povezana s sinusnimi in kosinusnimi vrednostmi za vsoto in razliko kotov. Predstavljeni so na spodnji sliki. Upoštevajte, da se v prvem primeru sinus in kosinus pomnožita oba časa, v drugem pa dodamo parni proizvod sinusovega in kosinusnega.

Obstajajo tudi formule, povezane z argumenti v obliki dvojnega kota. Popolnoma so izpeljani iz prejšnjih - kot vadbo, poskusite sami poiskati alfa kot enako kot vogal.

Končno, upoštevajte, da lahko formule dvojnega kota spremenimo tako, da znižamo stopnjo sinusnega, kosinusnega, tangentnega alfa.

Izreke

Dva osnovna izreka v osnovni trigonometriji sta sinusna izreka in kosinusna izrek. S pomočjo teh izrekov lahko enostavno razumete, kako najti sinus, kosinus in tangento ter s tem območje slike, velikost vsake strani in tako naprej.

Sinusna izreka pravi, da zaradi deljenja dolžine vsake strani trikotnika glede na količino nasprotnega kota dobimo enako število. Poleg tega bo to število enako dvema polmeroma okroglega kroga, to je kroga, ki vsebuje vse točke danega trikotnika.

Kosinusna izreka generalizira Pythagorean izrek, ki jo projicira na vse trikotnike. Izkaže se, da od vsote kvadratov obeh strani odštejemo svoj produkt, pomnožen s dvojnim kosinusom sosednjega kota - rezultirajoča vrednost bo enaka kvadratu tretje strani. Tako se izkaže, da je Pythagorean izrek poseben primer kosinusne teoreme.

Napake zaradi nezadostnosti

Tudi če poznate, kakšna je sinusna, kosinusna in tangenta, je zlahka narediti napako zaradi odvračanja pozornosti ali napake pri najpreprostejših izračunih. Da bi se izognili takšnim napakam, se bomo seznanili z najbolj priljubljenimi.

Prvič, ne smete pretvarjati navadnih frakcij v decimalke, dokler ne dobite končnega rezultata - odgovor lahko pustite kot navaden del, če pogoj ne določa drugače. Takšnega preoblikovanja ne moremo imenovati za napako, vendar je treba opozoriti, da se lahko na vsaki stopnji naloga pojavijo nove korenine, ki bi se po avtorjevem namenu morali zmanjšati. V tem primeru boste izgubili čas v nepotrebnih matematičnih operacijah. To še posebej velja za vrednote, kot je koren treh ali dveh, ker se na vsakem koraku srečata pri nalogah. Enako zadeva zaokroževanje "grdih" številk.

Nadalje, upoštevajte, da se za vsak trikotnik uporablja kosinusna izrek, ne pa tudi iz teorema Pythagoras! Če pomotoma pozabite odšteti podvojeni produkt strani, pomnožen s kosinusom kota med njimi, ne boste dobili le povsem napačnega rezultata, temveč boste tudi dokazali popolno nesporazum o temi. To je slabše od napake zaradi nezadovoljstva.

Tretjič, ne mešajte vrednosti za kota 30 in 60 stopinj za sinus, kosinus, tangente, kotangente. Upoštevajte te vrednosti, ker je sinus 30 stopinj enak kosinusu 60 in obratno. Preprosto jih je zmešati, zato boste neizogibno dobili napako.

Uporaba

Veliko študentov se ne mudi, da začnejo študirati trigonometrijo, ker ne razumejo njegovega uporabnega pomena. Kaj je sinus, kosinus, tangent za inženirja ali astronoma? To so koncepti, s pomočjo katerih lahko izračunate razdaljo do oddaljenih zvezd, napovedujete padec meteorita, pošljete sondo na drug planet. Brez njih ne morete zgraditi stavbe, oblikovati avtomobil, izračunati obremenitev na površini ali potezo gibanja predmeta. In to so le najbolj očitni primeri! Konec koncev se trigonometrija v eni ali drugi obliki uporablja povsod, od glasbe do medicine.

Na koncu

Torej, veste, kakšen sinus, kosinus, tangent. Lahko jih uporabite pri izračunih in uspešno rešujete šolske težave.

Celotna točka trigonometrije se nanaša na dejstvo, da morajo neznani parametri trikotnika izračunati neznane. Skupaj so ti parametri šest: dolžina treh strani in velikost treh kotov. Vse razlike v nalogah so, da so podani različni vložki.

Kako najti sinus, kosinus, tangento od znanih dolžin nog ali hipotenuse, zdaj veste. Ker ti izrazi pomenijo nič drugega kot razmerje, razmerje pa je del, glavni namen trigonometričnega problema je najti korenine navadne enačbe ali sistema enačb. In tu vam bo pomagal navadna šolska matematika.