Kakšna je tangenta v krogu? Lastnosti tangente v krog. Skupna tangenta na dva kroga

Secs, tangente - vse to stotinekrat ste slišali na lekcijah geometrije. Ampak diplomiranje iz šole zadaj, mimo let, in vse to znanje je pozabljeno. Kaj naj se spomnim?

Essence

Izraz "tangent krogu" je znan vsem, verjetno. Toda skoraj nihče ne bo mogel hitro oblikovati svoje opredelitve. Medtem pa je tangenta ravna črta, ki leži v eni ravnini s krogom, ki se leže na eni točki. Lahko jih je veliko, vendar imajo vsi enake lastnosti, o katerih bomo razpravljali v nadaljevanju. Ni težko uganiti, da je točka tangenciala kraj, kjer se krog in črta sekata. V vsakem primeru je to ena, če pa je več, potem bo že oddaljena.

Zgodovina odkrivanja in študija

Koncept tangente se je pojavil v starih časih. Gradnja teh vrstic v prvem krogu, nato pa do elips, parabol in hiperbola z ravnilom in kompas potekala še v zgodnjih fazah razvoja geometrije. Seveda je zgodovina ni ohranil ime odkritelja, vendar je jasno, da tudi v tem času so se ljudje dobro znane lastnosti, ki se dotika kroga.

V sodobnem času se je zanimanje za ta pojav spet povečalo - nov krog preučevanja tega koncepta se je začel v povezavi z odkritjem novih krivulj. Torej, Galileo je predstavil koncept cikloidov, Fermat in Descartes pa sta mu zgradili tangento. Kar se tiče krogov, se zdi, da tudi na starih časih na tem področju ni bilo skrivnosti.

Lastnosti

Polmer, ki je potegnjen na točki presečišča, je je pravokotna na ravno črto. To je osnovna, vendar ne edina lastnost, ki ima tangento za krog. Druga pomembna značilnost vključuje dve ravne črte. Torej, skozi eno točko, ki leži zunaj kroga, lahko narišete dve tangenti, njihovi segmenti pa bodo enaki. Na to temo obstaja še ena izreka, vendar se le redko izvaja v okviru standardnega šolskega tečaja, čeprav je izjemno priročno za reševanje nekaterih problemov. Sliši se kot to. Od ene točke, ki se nahaja izven kroga, se nanj pritegnejo tangenta in sekant. Oblikovani so segmenti AB, AC in AD. A je presečišče črt, B je točka tangencialov, C in D sta križišča. V tem primeru velja naslednja enakost: dolžina tangente na krog, na kvadrat, bo enaka produktu segmentov AC in AD.

Iz zgoraj navedenega je pomembna posledica. Za vsako točko kroga lahko zgradite tangento, vendar samo eno. Dokaz za to je precej preprost: teoretično spustimo navpičnico iz polmera, ugotovimo, da oblikovanega trikotnika ne more obstajati. In to pomeni, da je tangenta edinstvena.

Stavba

Med drugimi težavami v geometriji obstaja posebna kategorija, praviloma ne ljubeči učenci in učenci. Za reševanje nalog iz te kategorije so potrebni samo kompas in ravnilo. To so gradbene naloge. Obstajajo oni in gradnja tangente.

Torej, glede na krog in točko, ki leži zunaj svojih meja. In jih je treba narisati skozi tangente. Kako je to mogoče storiti? Najprej moramo narisati segment med središčem kroga O in dano točko. Nato z uporabo kompasa razdelite na polovico. Če želite to narediti, morate določiti polmer - nekaj več kot polovico razdalje med središčem prvotnega kroga in dano točko. Po tem moramo zgraditi dva križišča. In polmer kompasa ni potreben za spreminjanje, središče vsakega dela kroga pa je začetna točka in O. Prehodi lokov morajo biti združeni, ki delijo segment na polovico. Nastavite polmer, ki je enak tej razdalji na kompasu. Nato s središčem na točki presečišča zgradite še en krog. Vsebuje tako prvotno točko kot O. V tem problemu bodo še dvoje križišč z danim krogom. To bodo točke tangenc za prvotno določeno točko.

Zanimivo

Bila je tangenta v krog, ki je pripeljala do rojstva diferencialni račun. Prvo delo na tej temi je objavil znani nemški matematik Leibniz. Predvideval je možnost iskanja maksimuma, minimuma in tangentov, ne glede na frakcijske in iracionalne vrednosti. No, zdaj se uporablja za številne druge izračune.

Poleg tega je tangenta na krog povezana z geometrijskim pomenom tangente. Od tega izhaja njegovo ime. Pri prevajanju iz latinskih tangens - "tangent". Tako je ta koncept povezan ne samo z geometrijo in diferencialnim računom, ampak tudi s trigonometrijo.

Dva kroga

Tangent ne bo vedno prizadel samo ene številke. Če se v en krog lahko pripelje veliko število ravnih črt, zakaj ne obratno? Lahko. To je le težava v tem primeru resno zapletena, ker tangenta do dveh krogov ne more priti skozi nobene točke, in vzajemna ureditev vseh teh številk je lahko zelo drugačna.

Vrste in sorte

Ko gre za dva kroga in eno ali več vrstic, nato pa tudi če veste, da gre, ni takoj jasno, kako so vse te koščke razporejeni v odnosu drug do drugega. Na tej podlagi ločimo več sort. Torej, krogi imajo lahko eno ali dve skupni točki ali jih sploh nimajo. V prvem primeru se bodo sekali in v drugem - dotaknite se. In tu razlikujemo dve sorti. Če en krog, saj je bilo to vključeno v drugo, je dotik imenovano interno, če ne - potem je zunaj. Razumeti je relativni položaj kosov ne more temeljiti le na risbi, vendar imajo podatke o vsoti njihove radijih in razdalje med njunima središčema. Če sta ti dve količini enaki, se krogi dotaknejo. Če je prvi bolj - seka, in če manj - potem nimajo skupnih točk.

Torej je z ravnimi črtami. Za vsa dva kroga, ki nimata skupnih točk, se lahko
zgraditi štiri tangente. Dva od njih se med figurami križata, imenovana sta notranja. Nekaj ​​drugih je zunaj.

Če govorimo o krogih, ki imajo eno skupno točko, potem je naloga resno poenostavljena. Dejstvo je, da bo za vsako medsebojno ureditev v tem primeru tangenta samo ena. In to bo potekalo skozi točko njihovega križanja. Torej gradnja te težave ne bo povzročila.

Če imajo slike dve točki presečišča, se lahko z njimi zgodi ravna črta tangenta do kroga, ena in druga, a le zunanja. Rešitev tega problema je podobna tem, kar bomo kasneje razpravljali.

Reševanje problemov

Tako notranji kot zunanji tangens do obeh krogov v konstrukciji nista tako preprosta, čeprav je težava rešljiva. Dejstvo je, da se za to uporablja pomožna številka, tako da se lahko sami lotite te metode je precej problematična. Tako dobimo dva kroga z različnimi polmeri in centri O1 in O2. Za njih moramo zgraditi dva para tangentov.

Najprej, blizu središča večjega kroga, moramo zgraditi pomožno. V tem primeru je treba na kompasu določiti razliko med polmeroma dveh originalnih številk. Iz središča manjšega kroga so zgrajene tangente v pomožni krog. Po tem, iz O1 in O2, se navpične točke na teh ravnih črtah naredijo pred prehodom z originalnimi številkami. Kot izhaja iz osnovne lastnosti tangente, se najdejo zahtevane točke obeh krogov. Problem je rešen, vsaj njegov prvi del.

Da bi zgradili notranje tangente, je treba praktično rešiti podoben problem. Ponovno potrebujemo pomožno sliko, tokrat pa bo njen polmer enak vsoti prvotnih. Za to so tangente zgrajene iz središča enega od teh krogov. Nadaljnji pot rešitve lahko razumemo iz prejšnjega primera.

Tangent krogu ali celo dveh ali več ni tako težka naloga. Seveda matematiki že dolgo ne rešijo takšnih težav ročno in zaupajo izračuni posebnim programom. Ampak ne mislite, da vam zdaj ni treba sami, ker pravilno oblikujete naloge za računalnik, kar morate storiti veliko in razumeti. Na žalost obstaja strah, da bodo po končnem prehodu na preskusno obliko nadzora znanja gradbene naloge povzročile vse več težav učencem.

Za iskanje skupnih tangentov za več krogov to ni vedno mogoče, tudi če so v isti ravnini. Toda v nekaterih primerih lahko najdete tako ravno črto.

Primeri iz življenja

V praksi se pogosto pojavljajo skupne tangente za dva kroga, čeprav to ni vedno opazno. Transporterji, sistemi blokov, prenosni jermeni jermenic, napetost navoja v šivalni stroj in celo samo kolesarska veriga so vsi primeri iz življenjske dobe. Torej ne mislite, da geometrijski problemi ostajajo le v teoriji: v inženirstvu, fiziki, gradbeništvu in mnogih drugih področjih najdemo praktično uporabo.