Sinusov izrek. Reševanje trikotnikov

Študija trikotnikov nehoteno postavlja vprašanje izračuna razmerja med njihovimi stranmi in koti. V geometriji izravnava kosina in sinus daje najbolj popoln odgovor za rešitev te težave. V obilju različnih matematičnih izrazov in formul, zakonov, izrekov in pravil, obstajajo taki, da se razlikujejo v izredni harmoniji, jedrnati in preprostosti pri posredovanju pomena, vsebovanega v njih. Sinusna izreka je živahen primer takšne matematične formulacije. Če v besedni interpretaciji obstaja tudi določena ovira pri razumevanju tega matematičnega pravila, potem ko pogledate matematično formulo, se vse takoj začne uporabljati.

Prve informacije o tej izreki so bile najdene v obliki njegovega dokaza v okviru matematičnega dela Nasirja ad-Dina Al-Tusija iz 13. stoletja.

Približuje se obravnavi vidnega razmerja in kotov v katerem koli trikotniku, je treba omeniti, da sinusna izreka omogoča reševanje številnih matematičnih problemov, medtem ko se ta zakon geometrije uporablja za različne vrste praktičnih človeških dejavnosti.

Sine izrek sama navaja, da so za kateri koli trikotnik strani sorazmerne sine z nasprotnimi koti. Obstaja tudi drugi del te izreke, v skladu s katerim je razmerje katere koli strani trikotnika na sinusu nasprotnega kota premer kroga, opisani v bližini obravnavanega trikotnika.

V obliki formule je videti ta izraz

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Ima izrek o sinusni dokazi, ki je v različnih različicah učbenikov ponujen v bogati različici.

Na primer, upoštevajte enega od dokazil, ki pojasnjujejo prvi del izreka. Za to postavimo cilj dokazovanja veljavnosti izraza asinC=csinA.

V poljubnem trikotniku ABC konstruiramo višino BH. V eni od variant konstrukcije bo H ležal na segmentu AC in v drugem zunaj, odvisno od kotov v vertikih trikotnikov. V prvem primeru se lahko višina izrazi v kotih in straneh trikotnika, saj je BH = sinC in BH = c sinA, kar je zahtevan dokaz.

V primeru, ko je točka H zunaj meja segmenta AC, lahko dobimo naslednje rešitve:

BH = sinC in BH = c sin (180-A) = c sinA;

ali BH = greh (180-C) = sinC in BH = c sinA.

Kot vidimo, ne glede na možnosti gradnje, pridemo do želenega rezultata.

Za dokaz drugega dela izreka moramo opisati krog okoli trikotnika. Z eno od višin trikotnika, na primer B, konstruiramo premer kroga. Pridobite točko na krogu D z enim od višine trikotnika, naj bo točka A trikotnika.

Če upoštevamo nastale trikotnike ABD in ABC, lahko opazimo enakost kotov C in D (temeljita na enem loku). Glede na to, da je kot A devetdeset stopinj, potem sin D = c / 2R ali sin C = c / 2R, kar je bilo treba dokazati.

Sinusna izreka je izhodišče za reševanje številnih različnih problemov. Posebna privlačnost je njegova praktična uporaba, ki je posledica teoreme, lahko povezujemo vrednosti strani trikotnika, nasprotnih kotov in polmera (premera) kroga, ki je okrog trikotnika. Enostavnost in dostopnost formule, ki opisuje ta matematični izraz, je omogočila široko uporabo teoreme za reševanje problemov z uporabo različnih mehanskih števnih naprav (logaritmični vladarji, tabele itd.), vendar tudi prihod močnih računalniških naprav v službo osebe ni zmanjšal relevantnosti te teoreme.

Ta izrek ni vključen le v obvezni tečaj geometrije srednje šole, ampak se uporablja tudi v nekaterih vejah praktične dejavnosti.