Točke ekstremuma funkcije. Kako najti ekstremne točke. Vsota ekstremnih točk

Pomemben koncept v matematiki je funkcija. Z njeno pomočjo lahko vizualizirate številne procese, ki se pojavljajo v naravi, pri čemer uporabite formule, tabele in slike na grafu razmerje med določenimi vrednostmi. Primer je odvisnost tlaka tekočega sloja na telesu od globine potopitve, pospešek - od delovanja na objekt določene sile, zvišanja temperature - od prenesene energije in številnih drugih procesov. Študija funkcije predpostavlja gradnjo grafov, pojasnitev njegovih lastnosti, domeno definicije in vrednosti, intervale povečanja in zmanjšanja. Pomembna točka v tem procesu je iskanje ekstremnih točk. O tem, kako to narediti prav, in se bo še pogovarjal.

Na samem pojmu konkretnega primera

V medicini lahko načrtovanje funkcije pove o napredovanju bolezni v telesu pacienta, ki vizualno odraža njegovo stanje. Predpostavimo, da je čas osi razporejena vzdolž osi OX in temperatura človeškega telesa vzdolž osi OY. Številka jasno kaže, kako se ta indikator močno poveča, nato pa pade. Prav tako ni težko opaziti posameznih točk, ki odražajo trenutke, ko se začne povečevati funkcija, in obratno. To so ekstremne točke, to je kritične vrednosti (največje in najmanjše) v tem primeru temperature pacienta, po katerem se pojavijo spremembe v njegovem stanju.

Kot nagiba

Na sliki je enostavno ugotoviti, kako se spremeni derivat funkcije. Če se ravne črte grafov s časom povečujejo, potem je pozitivno. In če so bolj strmi, je bolj pomembno, da izpeljava prevzame, saj se naklon nagiba povečuje. V obdobjih zmanjšanja ta vrednost zavzame negativne vrednosti, pri ekstremnih točkah se obrne na nič in ploskev izpeljanega v slednjem primeru vzporedno z osjo OX.

Vse druge postopke je treba obravnavati na podoben način. Toda najboljši način, kako povezati ta koncept, je povedati gibanje različnih teles, grafično prikazanih na grafih.

Gibanje

Recimo, da se nek predmet premika vzdolž ravne črte, enakomerno zbira hitrosti. V tem obdobju sprememba v koordinatah telesa grafično predstavlja določeno krivuljo, ki bi jo matematika imenovala podružnica parabole. V tem primeru se funkcija nenehno povečuje, saj se koordinate koordinate spreminjajo z vsakim drugim bolj in bolj hitro. Graf hitrosti prikazuje vedenje derivata, katerega vrednost se tudi poveča. Torej gibanje nima kritičnih točk.

Nadaljeval se bo za nedoločen čas. Če pa se telo nenadoma odloči za zaviranje, se ustavi in ​​začne premikati v nasprotni smeri? V tem primeru se bodo koordinate začele zmanjševati. Funkcija bo prešla kritično vrednost in se od povečanja spremenila v zmanjšanje.

Še enkrat s tem primerom lahko razumemo, da se ekstremne točke na grafu funkcije pojavijo v času, ko prenehajo biti monotoni.

Fizični pomen izpeljanka

Opisano je bilo jasno, da je derivat v bistvu stopnja spremembe funkcije. V tej specifikaciji se zaključi njen fizični pomen. Ekstremne točke so kritična področja na grafu. Odkrijejo in odkrijejo jih z izračunom vrednosti izpeljanka, ki se izkaže za nič.

Obstaja še en znak, ki je zadosten pogoj za ekstremu. Derivat v teh krajih pregibanja spreminja svoj znak: od "+" do ";" v območju največjega in od ";" do "+" v območju najmanjšega.

Gibanje pod vplivom gravitacije

Predstavljamo si še eno situacijo. Otroci, ki so igrali žogo, so ga vrgli tako, da se je začel gibati pod kotom do obzorja. V začetnem trenutku je bila hitrost tega predmeta največja, vendar se je pod vplivom gravitacije začela zmanjševati, pri čemer je vsaka sekunda pri isti vrednosti enaka približno 9,8 m / s². To je vrednost pospeška, ki nastane pod vplivom zemeljske teže med prostim padom. Na Luni bi bilo približno šestkrat manjše.

Graf, ki opisuje gibanje telesa, je parabola z vejami, ki kažejo navzdol. Kako najti ekstremne točke? V tem primeru gre za točko funkcije, kjer hitrost telesa (kroglice) zavzame ničelno vrednost. Derivat funkcije postane nič. V tem primeru se smer in posledično hitrost spremeni. Telo leti vsako sekundo hitreje in se pospeši za isto količino - 9,8 m / s².

Drugi izvedeni

V prejšnjem primeru je graf hitrostnega modula narisan kot ravna črta. Ta vrstica je najprej usmerjena navzdol, saj se vrednost te količine stalno zmanjšuje. Ko se v enem od trenutkov doseže nič, se kazalci tega obsega začnejo povečevati in smer grafične podobe modula hitrosti se radikalno spremeni. Zdaj je črta usmerjena navzgor.

Hitrost, ki je derivat časovne koordinate, ima tudi kritično točko. V tej regiji se funkcija, ki se sprva zmanjšuje, začne povečevati. To je točka ekstremuma izpeljanka funkcije. V tem primeru kot naklona tangente postane nič. In pospešek, ki je drugi izvedeni časovni koordinat, spremeni znak iz ";" v "+". In gibanje enakomerno počasi postane enakomerno pospešeno.

Graf pospešek

Zdaj upoštevajte štiri številke. Na vsakem od njih se prikaže graf spremenljivosti časa s fizično količino, kot je pospešek. V primeru "A" njegova vrednost ostaja pozitivna in konstantna. To pomeni, da se hitrost telesa, tako kot njena koordinata, nenehno povečuje. Če si predstavljamo, da se bo predmet tako premaknil za neskončno dolg čas, se bo funkcija, ki odraža odvisnost koordinate na čas, izkazala za nenehno naraščajoča. Iz tega sledi, da nima kritičnih regij. Tudi ekstremne točke na ploskvi derivata, to je linearne hitrosti, so tudi odsotne.

Enako velja za primer "B" s pozitivnim in nenehnim naraščajočim pospeškom. Res je, da bodo grafi za koordinate in hitrost nekoliko bolj zapleteni.

Ko se pospešek zmanjša na nič

Glede na risbo "B" lahko opazite zelo drugačno sliko, ki označuje gibanje telesa. Njeno hitrost bo grafično predstavljena s parabolom z vejami, ki kažejo navzdol. Če nadaljujemo s črto, ki opisuje spremembo pospeševanja do njenega presečišča z osjo OX in nadalje, si lahko predstavljamo, da se pred to kritično vrednostjo, kjer se pospešek izkaže, da je nič, hitrost predmeta se bo počasneje zviševala. Izredna točka izvoda koordinatne funkcije je ravno na vrhu parabole, po kateri bo telo radikalno spremenilo značaj gibanja in začelo premikati v drugi smeri.

V slednjem primeru, "G", narave gibanja ni mogoče natančno določiti. Tukaj je znano le, da v obravnavanem določenem obdobju ni pospeševanja. Torej, objekt lahko ostane na svojem mestu ali se gibanje zgodi s konstantno hitrostjo.

Naloga dodajanja koordinat

Prehimo na naloge, ki se pogosto srečujejo pri študiji algebre v šoli in so na voljo za pripravo na USE. Spodnja slika prikazuje grafikon funkcij. Izračunati je treba vsoto ekstremnih točk.

To naredimo za koordinatno os, ki določa koordinate kritičnih regij, kjer opazimo spremembo značilnosti funkcije. Preprosto povedano, najdemo vrednosti vzdolž osi OX za prelomne točke in nato nadaljujemo z dodajanjem pridobljenih izrazov. Iz grafa je jasno, da so naslednje vrednosti: -8- -7- -5- -3- -2- 1- 3. Skupno je to -21, kar je odgovor.

Optimalna rešitev

Ni potrebno razlagati, kako pomembno je pri izvajanju praktičnih nalog izbirati optimalno rešitev. Konec koncev, obstaja veliko načinov, kako doseči cilj, in najboljši izhod je praviloma le eden. To je izjemno potrebno, na primer pri načrtovanju ladij, vesoljskih plovil in letal, arhitekturnih struktur, da bi našli optimalno obliko teh umetnih predmetov.

Hitrost vozil je v veliki meri odvisna od kompetentnega minimiziranja upora, ki ga doživljajo pri vožnji skozi vodo in zrak, od preobremenitev, ki nastanejo pri delovanju gravitacijskih sil, in mnogih drugih kazalcev. Ladja na morju potrebuje takšne lastnosti kot stabilnost med nevihto, je minimalni osnutek pomemben za rečno ladjo. Pri izračunu optimalne oblike lahko ekstremne točke na grafu jasno dajo idejo o najboljši rešitvi kompleksnega problema. Naloge takšnega načrta se pogosto rešujejo v gospodarstvu, na gospodarskih področjih, v različnih drugih življenjskih situacijah.

Od antične zgodovine

Težave za ekstremu so zasedle tudi stari modreci. Grški znanstveniki so z matematičnimi izračuni uspešno odkrili skrivnost področij in obsegov. Najprej so razumeli, da na ravnini različnih številk z enakim obrobjem največje območje vedno ima krog. Podobno je krogla opremljena z največjo prostornino med preostalimi predmeti v prostoru z isto velikostjo površine. Takšne izjemne osebnosti, kot so Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius, so se posvetili reševanju takšnih problemov. Če želite poiskati ekstremne točke, je bila Gerona popolnoma sposobna, ki je z izračuni napravila zvitke. Ti so vključevali avtomatske stroje, ki se gibljejo skozi paro, ki delujejo na istem principu črpalke in turbine.

Gradnja Kartage

Obstaja legenda, katere ploskev je zgrajena na rešitvi enega od skrajnih težav. Rezultat poslovnega pristopa, ki ga je pokazala fenicijska princesa, ki je zaprosila za pomoč modrecem, je bila stavba Carthage. Zemljo za to starodavno in slavno mesto je predstavil Didon (ime vladarja) vodji enega od afriških plemen. Območje dodelitve se mu ni zdelo zelo veliko, ker je bil po pogodbi pokrit s kravato. Toda princesa je naročila svojim vojakom, da ga razrežejo na tanke trakove in iz njih naredijo pas. Izkazalo se je, da je tako dolgo, da je zajemalo spletno mesto, kjer se vanj prilegajo celo mesto.

Izvor matematične analize

In zdaj se bomo preselili iz antičnih časov v kasnejšo obdobje. Zanimivo je, da je razumevanje temeljev matematične analize povzročil Kepler v 17. stoletju, da bi se srečal s prodajalcem vina. Trgovec je bil tako dobro usposobljen v svojem poklicu, da je lahko zlahka določil količino pijače v sodu, ki je tam preprosto spustil železni turnir. Razmišljal o takšni radovednosti, znan znanec je uspel rešiti zase to dilemo. Izkazalo se je, da so spretni bokoki teh časov uspeli izdelati plovila tako, da so imeli na določeni višini in polmeru obroča pritrdilnih obročev največjo moč.

To je postalo za Kepler priložnost za nadaljnjo refleksijo. Bochary je prišel do optimalne rešitve z metodo dolgih iskanj, napak in novih poskusov, prenos svojih izkušenj iz generacije v generacijo. Toda Kepler je želel pospešiti proces in se naučiti narediti isto v kratkem času z matematičnimi izračuni. Vsi njegovi dogodki, ki so jih pobrali kolegi, so se spremenili v zdaj znane teoreme Fermata in Newton-Leibniza.

Naloga iskanja največje površine

Predstavljajte si, da imamo žico, katere dolžina je 50 cm. Kako narediti od njega pravokotnik z največjim območjem?

Zagon rešitve bi moral izhajati iz preprostih in znanih resnic. Jasno je, da bo obseg naše figure 50 cm. Prav tako je sestavljen iz podvojenih dolžin obeh strani. To pomeni, da je po določitvi enega od njih za "X" drugi lahko izražen kot (25 - X).

Zato dobimo območje, enako X (25 - X). Ta izraz je lahko predstavljen kot funkcija, ki sprejme niz vrednosti. Rešitev problema zahteva iskanje maksimuma od njih, zato je treba najti ekstremne točke.

Če želite to narediti, najdemo prvi derivat in ga izenačimo z ničlo. Rezultat je preprosta enačba: 25 - 2X = 0.

Iz nje se nauči, da je ena od strank X = 12.5.

Zato še: 25 - 12,5 = 12,5.

Izkazalo se je, da bo rešitev problema kvadrat s stranico 12,5 cm.

Kako najti največjo hitrost

Poglejmo še en primer. Predstavljamo si, da obstaja telo, katerega rektilinsko gibanje je opisano z enačbo S = - t³ + 9t² - 24t-8, pri čemer je prevožena razdalja izražena v metrih in čas v sekundah. Potrebno je najti največjo hitrost. Kako to storiti? Prenesli najti hitrost, to je prvi izvedeni.

Dobimo enačbo: V = - 3t² + 18t - 24. Zdaj, da bi rešili težavo, moramo ponovno najti ekstremne točke. To je treba storiti na enak način kot v prejšnji težavi. Prvi derivat hitrosti najdemo in ga izenačimo z ničlo.

Dobimo: - 6t + 18 = 0. Zato je t = 3 s. To je čas, ko hitrost telesa prevzame kritično vrednost. Pridobljene podatke nadomestimo z enačbo hitrosti in dobimo: V = 3 m / s.

Ampak kako razumeti, da je to največja hitrost, ker so lahko kritične točke funkcije največje ali najmanjše vrednosti funkcije? Če želite preveriti, je treba najti drugi odvod hitrosti. Izraža ga številka 6 z znakom minus. To pomeni, da je ugotovljena točka največja. V primeru pozitivne vrednosti bi bil drugi izvedeni nizek. Zato je bila ugotovljena rešitev pravilna.

Navedeni primeri so le del tistih, ki jih je mogoče rešiti s tem, kako najti ekstremne točke funkcije. Dejansko je še veliko več. In tako znanje odpira neomejene priložnosti za človeško civilizacijo.