Ekstremi funkcije - v preprostem jeziku o kompleksnosti

Da razumem, kaj je ekstremne točke funkcije, ni potrebno vedeti o prisotnosti prvega in drugega derivata in razumeti njihov fizični pomen. Najprej morate razumeti naslednje:

• ekstremi funkcije maksimirajo ali, nasprotno, zmanjšajo vrednost funkcije v poljubno majhni soseski;
• na ekstremnem mestu ne sme biti nobenih prekinitev funkcije.

In zdaj enako, samo v preprostem jeziku. Poglej konico palice kemičnega svinčnika. Če je ročaj nameščen navpično, se bo pisanje končalo, potem bo sredina žoge ekstremna - najvišja točka. V tem primeru govorimo o maksimumu. Zdaj, če obrnete pero s pisanjem konec navzdol, bo že vsaj minimalna funkcija na sredini žoge. Z uporabo številke, ki je podana tukaj, si lahko predstavljamo naštete manipulacije za svinčnik. Torej, ekstremi funkcije so vedno kritične točke: njene maksime ali minimumi. Sosednji del grafa je lahko poljubno oster ali gladek, vendar mora obstajati na obeh straneh, le v tem primeru je točka ekstremna. Če je graf prisoten le na eni strani, ta ekstremum ne bo prikazan, tudi če so na eni strani izpolnjeni pogoji ekstrema. Zdaj študij ekstremov funkcije iz znanstvenega vidika. Da bi se točka štela za skrajno, je potrebno in zadostno, da:

• prvi derivat je bil nič ali ni obstajal na točki;
• prvi derivat je na tej točki spremenil svoj znak.

Pogoji zdravljenih nekoliko drugače v smislu derivatov funkcije višjega reda, ki je odvedljiva na točki zadostuje, da pride do derivat liho reda, ni enak nič, kljub dejstvu, da je treba vse derivate nižjega reda in nič. To je najpreprostejša interpretacija izrekov iz učbenikov višja matematika. Toda za najbolj navadne ljudi je smiselno pojasniti to točko z zgledom. Kot osnovo se vzame navadna parabola. Takoj, da rezervirate, je na nič, ima najmanj. Zelo malo matematike:

• prvi derivat (X²)^{| |} = 2X, za nič točko 2X = 0;
• drugi izvedeni (2X)^{| |} = 2, za ničlo 2 = 2.

Na ta preprost način so ponazorjeni pogoji, ki določajo ekstremo funkcije za derivate prvega reda in derivate višjega reda. V zvezi s tem lahko dodamo, da je drugi derivat ravno isti derivat lojalnega reda, ki ni enak nič, kar je bilo omenjeno zgoraj. Ko gre za ekstremi funkcije dveh spremenljivk, morajo biti izpolnjeni pogoji za oba argumenta. Kadar gre za posplošitev, se uporabljajo zasebni derivati. To pomeni, da je v točki treba imeti ekstrem, tako da sta oba derivata prvega reda enaka nič, ali vsaj eden od njih ne obstaja. Za zadostnost prisotnosti ekstrema se šteje izraz, ki je razlika med produktom derivatov drugega reda in kvadratom mešanega drugega derivata funkcije. Če je ta izraz večji od nič, potem pride ekstrem in če je enakost nič, potem ostane vprašanje odprto, zato je potrebno več raziskav.