Matematično pričakovanje in varianca naključne spremenljivke

Teorija verjetnosti je posebna veja matematike, ki jo preučujejo samo študenti visokošolskih zavodov. Vam je všeč izračuni in formule? Ali se ne bojite možnosti spoznavanja normalne porazdelitve, entropije ansambla, matematičnega pričakovanja in variance diskretne slučajne spremenljivke? Potem bo ta tema zelo zanimiva za vas. Spoznajmo se z več pomembnimi osnovnimi koncepti tega oddelka znanosti.

Spomnimo se osnov

Tudi če se spomnite najpreprostejših konceptov teorije verjetnosti, ne upoštevajte prvih odstavkov članka. Dejstvo je, da brez jasnega razumevanja osnov ne morete delati s spodaj opisanimi formulami.

Torej, obstaja nekaj naključnih dogodkov, eksperiment. Kot rezultat ukrepov, ki jih sprejemamo, lahko dobimo več rezultatov - nekateri se pogosteje pojavljajo, drugi - manj pogosto. Verjetnost dogodka je razmerje med številom resnično pridobljenih rezultatov ene vrste in skupnim številom možnih rezultatov. Samo poznavanje klasične definicije tega koncepta lahko začnete preučevati matematično pričakovanje in varianco stalnih naključnih spremenljivk.

Aritmetična sredina

V šoli v matematičnem razredu začeli delati s povprečno aritmetiko. Ta koncept se pogosto uporablja v teoriji verjetnosti in ga zato ni mogoče zanemariti. Za nas je trenutno najpomembnejše, da se bomo srečali v formulah matematičnega pričakovanja in variance naključne spremenljivke.

Imamo zaporedje številk in želimo najti aritmetično sredino. Vse, kar se zahteva od nas, je, da povzamemo vse, kar je na voljo, in delimo s številom elementov v zaporedju. Imamo številke od 1 do 9. Vsota elementov bo 45, to vrednost pa bomo razdelili na 9. Odgovor: - 5.

Disperzija

Znanstveno gledano je variance srednji kvadratni odklon dobljenih vrednosti lastnosti iz aritmetične sredine. To označuje ena velika črka D. Kaj morate izračunati? Za vsak element zaporedja izračunamo razliko med obstoječim številom in aritmetično sredino in jo kvadratno. Vrednosti bodo točno toliko, kot bi lahko bili rezultati v primeru, ki jih razmišljamo. Nato povzemamo vse rezultate in razdelimo glede na število elementov v zaporedju. Če imamo pet možnih rezultatov, se razdelimo za pet.

Disperzija ima lastnosti, ki jih morate upoštevati pri reševanju težav. Na primer, ko se naključna spremenljivka poveča za faktor X, se variance kvadratično poveča v X (to je X * X). Nikoli ni nič manj kot nič in ni odvisen od premika vrednosti za enako vrednost v večji ali manjši meri. Poleg tega je za neodvisne preskuse varianca vsote enaka vsoti odstopanj.

Zdaj moramo razmisliti o primerih variance diskretne slučajne spremenljivke in matematičnih pričakovanj.

Recimo, da smo izvedli 21 eksperimentov in dobili 7 različnih rezultatov. Vsak od njih smo opazili, oziroma 1,2,2,3,4,4 in 5-krat. Kakšna je varianca?

Najprej izračunamo aritmetično povprečje: vsota elementov, seveda pa je enaka 21. razkoraku 7, da smo dobili 3. Nato vsako od števila prvotna sekvence Minus 3, je vsaka kvadratna vrednost in dodamo rezultate skupaj. Izkazalo se je 12. Sedaj nam ostaja delitev števila s številom elementov in, očitno, vse. Vendar je ulov! Razpravljamo o tem.

Odvisnost od števila poskusov

Izkazalo se je, da lahko pri izračunu variance v imenovalniku stoji ena od dveh števil: N ali N-1. Tukaj je N število opravljenih preizkusov ali število elementov v zaporedju (kar je v bistvu ista stvar). Od česa je odvisno?

Če se število preskusov meri v stotinah, potem moramo dati imenovalec N. Če enote, nato N-1. Znanstveniki so se odločili, da bodo simbolično vodili mejo: za danes gre skozi vrednost 30. Če smo izvajali eksperimente manj kot 30, potem seštevamo vsoto z N-1 in če več - z N.

Cilj

Vračamo se na naš primer reševanja problema variance in matematičnih pričakovanj. Imamo vmesno številko 12, ki jo je treba razdeliti na N ali N-1. Ker smo izvedli poskuse 21, kar je manj kot 30, izberemo drugo možnost. Torej, odgovor je: varianca je 12/2 = 2.

Matematična pričakovanja

Pojdimo na drugi koncept, ki ga moramo upoštevati v tem članku. Pričakovanja so rezultat povzetka vseh možnih rezultatov, pomnoženih z ustreznimi verjetnostmi. Pomembno je razumeti, da se pridobljena vrednost, pa tudi rezultat izračuna variance, pridobi le enkrat za celotno nalogo, ne glede na to, koliko rezultatov je bil upoštevan v njej.

Formula pričakovanju je zelo preprost: vzemite izid, pomnoženo s svojo verjetnostjo, dodamo enako za drugo, tretje, rezultat, itd Vse v zvezi s tem konceptom, ki se izračuna preprosto ... Na primer, vsota pričakovanj je pričakovanje vsote. Za delo je dejansko enako. Takšni preprosti postopki nam omogočajo, da z nami ne opravljamo vsake količine v teoriji verjetnosti. Sprejmemo nalogo in izračunamo pomen dveh konceptov, ki smo jih preučili. Poleg tega nas je teorija motila - čas je, da vadimo.

Drug primer

Izvedli smo 50 testov in dobili 10 vrst rezultatov - številke od 0 do 9 - pojavljajo se v različnih odstotkih. To je: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Spomnimo se, da morate za pridobitev verjetnosti razdeliti vrednosti v odstotkih za 100. Tako dobimo 0,02-1,1, itd. Za varianco naključne spremenljivke in matematičnega pričakovanja predstavljamo primer rešitve problema.

Aritmetično sredino izračunamo po formuli, ki se spomnimo od srednje šole: 50/10 = 5.

Zdaj prevedemo verjetnosti v število rezultatov "v kosih", tako da bi bilo bolj primerno šteti. Dobimo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 in 9. Vsak dobljena vrednost odšteje aritmetična sredina, nato pa vsak izmed dobljenih rezultatov smo kvadrat. Oglejte si, kako to narediti z uporabo primera prvega elementa: 1 - 5 = (-4). Naprej: (-4) * (-4) = 16. Za preostale vrednosti sami izvedite te operacije. Če ste storili vse v redu, potem, potem ko ste dodali vse vmesni rezultati dobiš 90.

Nadaljujmo z izračunom variance in matematičnega pričakovanja, delimo 90 na N. Zakaj izbrati N, ne N-1? Tako je, ker število opravljenih preizkusov presega 30. Torej: 90/9 = 10. Prejeli smo razpršenost. Če imate drugačno številko, ne obupajte. Najverjetneje ste v izračunih naredili banalno napako. Preverite, kaj je bilo napisano in zagotovo bo vse na mestu.

Na koncu se spomnimo formule matematičnega pričakovanja. Ne bomo dali vseh izračunih, zapisali bomo le odgovor, s katerim se lahko posvetujete, ko so končali vse zahtevane postopke. Pričakovanje je 5,48. Opozorili vas bomo le, kako izvajati operacije na primer prvih elementov: 0 * 0.02 + 1 * 0.1hellip- in tako naprej. Kot lahko vidite, preprosto pomnožimo vrednost rezultata z njegovo verjetnostjo.

Odstopanje

Drugi koncept, tesno povezan z variancem in matematičnimi pričakovanji, je srednji kvadratni odklon. Označujejo ga latinske črke sd ali grške male črke "sigma". Ta koncept prikazuje, koliko vrednosti povprečno odstopajo od osrednje značilnosti. Da bi našli svojo vrednost, morate izračunati kvadratni koren variance.

Če ustvarite običajen razpored razporeditve in želite ga neposredno ogledati povprečje kvadratni odklon, to lahko naredimo v več fazah. Vzemite polovico slike v levo ali desno od načina (središčna vrednost), narišite pravokotno na vodoravno os, tako da so površine dobljenih oblik enake. Vrednost segmenta med sredino porazdelitve in nastale projekcije na vodoravni osi bo srednji kvadratni odklon.

Programska oprema

Kot je razvidno iz opisov formul in predstavljenih primerov, izračuni variance in matematičnega pričakovanja niso najpreprostejši postopek z aritmetičnega vidika. Da ne bi izgubljali časa, je smiselno uporabiti program, ki se uporablja v visokošolskih zavodih - imenuje se "R". Ima funkcije, ki vam omogočajo izračun vrednosti za številne koncepte iz statistike in teorije verjetnosti.

Na primer določite vektor vrednosti. To se naredi takole: vektor <-c (1.5.2hellip-). Zdaj, ko morate izračunati kakršne koli vrednosti tega vektorja, napišete funkcijo in jo nastavite kot argument. Če želite najti variance, boste morali uporabiti funkcijo var. Primer njegove uporabe: var (vektor). Nato pritisnete »vnos« in dobite rezultat.

Na koncu

Disperzija in matematična pričakovanja sta osnovni koncepti teorije verjetnosti, brez katerih je v prihodnosti težko izracunati. V glavnem predavanju na univerzah se štejejo že v prvih mesecih študija predmeta. To je zaradi nerazumevanja teh preprostih konceptov in njihovo nesposobnost, da izračun veliko študentov začne zadaj takoj pade na programu in kasneje prejeli slabe ocene o rezultatih zasedanja, ki jih prikrajša za njihove štipendije.

Vadite vsaj en teden pol ure na dan, tako da rešite naloge, podobne tistim iz tega članka. Nato na vsakem preizkusu teorije verjetnosti lahko spoprimeš s primeri brez tujih namigov in goljufnih listov.