Konveksni mnogokotniki. Opredelitev konveksnega mnogokotnika. Diagoni konveksnega mnogokotnika

Te geometrijske figure nas obdajajo povsod. Konveksnih mnogokotnikov so naravni, kot je satovje ali umetno (sintetičnih). Te številke se uporabljajo pri izdelavi različnih vrst premazov, slikarstva, arhitekture, dekoracij itd. Konveksnih poligonov imajo lastnost, da so njihovi točke ležijo na eni strani premice, ki poteka skozi par sosednjih oglišč geometrijskega lika. Obstajajo še druge opredelitve. Konveksni je ta poligon, ki se nahaja v eni polurnasti ravnini glede na katero koli črto, ki vsebuje eno od njegovih strani.

Konveksni mnogokotniki

Pri osnovni geometriji vedno upoštevamo le preproste poligone. Da bi razumeli vse lastnosti takega geometrijske oblike je treba razumeti njihovo naravo. Za začetek je treba razumeti, da je vsaka črta, katere konci sovpadajo, imenovana zaprta. Številka, ki jo je oblikovala, ima lahko različne konfiguracije. Poligon je preprosta zaprta poligonska črta, katere sosednje povezave ne ležijo na isti liniji. Njegove povezave in vrhovi so stranske in vertikalne točke te geometrijske figure. Preprosta polilnica ne sme imeti samopreskrbe.

Vrvice mnogokotnika imenujemo sosednje, če predstavljajo konce ene od svojih strani. Geometrijska številka, ki ima n-ti število točk, in zato n-ti število strani, se imenuje n-gon. Lomljena črta se imenuje meja ali kontura te geometrijske figure. Poligonsko ravnino ali ravnino poligona imenujemo končni del katere koli ravnine, ki jo omejuje. Sosednje strani te geometrijske figure so segmenti prelomljene črte, ki se začne iz ene vertexe. Ne bodo sosednje, če prihajajo iz različnih verig poligona.

Druge definicije konveksnih mnogokotnikov

V osnovni geometriji je po svoji vrednosti nekaj več enakovrednih definicij, ki označujejo, kateri poligon imenujemo konveksni. Vse te formulacije so enako resnične. Konveksni mnogokotnik velja za:

• v njem je popolnoma vsak segment, ki povezuje dve točki v njej;

• znotraj nje ležijo vse diagonale;

• notranji kot ne presega 180 °.

Poligon vedno deli ravnino na dva dela. Eden od njih je omejen (lahko ga zapremo v krog), drugi pa neomejen. Prvi se imenuje notranja regija, druga pa se imenuje zunanja regija te geometrijske figure. Ta poligon je presečišče (z drugimi besedami - skupna komponenta) več polovic. V tem primeru je vsak segment, ki se konča na točkah, ki pripadajo poligonu, v celoti.

Vrste konveksnih mnogokotnikov

Opredelitev konveksnega mnogokotnika ne kaže na to, da jih je veliko. Vsak od njih ima določena merila. Tako so konveksni mnogokotniki, ki imajo notranji kot 180 °, imenovani šibko konveksni. Konveksno geometrijski lik, ki ima tri vrhove, se imenuje trikotnik, štiri - štirikotno, pet - Pentagon, itd Vsak od konveksni n-gon izpolnjuje naslednje pomembne zahteve: .. N mora biti enaka ali večja od 3. Vsaka od trikotnikov je izbočena. Geometrična figura te vrste, v kateri so vse tocke nahaja na krog, ki se imenuje napisano krog. Konveksni mnogokotnik se imenuje, če ga dotaknete vse svoje stranice v bližini kroga. Dva poligona imenujeta enako samo, če jih je mogoče kombinirati s pomočjo prekrivanja. Stanovanje poligon imenuje poligonska ravnina (letalo del), ki je s tem omejeno geometrijskega lika.

Redni konveksni mnogokotniki

Pravilni poligoni so geometrijske slike z enakimi koti in stranicami. V njih je točka 0, ki je na isti razdalji od vsake od njegovih tock. Imenuje se središče te geometrijske figure. Segmenti, ki povezujejo središče z vertikali te geometrijske figure, imenujemo apophemes, in tisti, ki povezujejo točko 0 s stranicami, so radii.

Pravi štirikotnik je kvadrat. Pravi trikotnik se imenuje enakostranski. Za takšne številke velja naslednje pravilo: vsak kot konveksnega mnogokotnika je 180 ° * (n-2) / n,

kjer je n število verzov te izbočene geometrijske figure.

Področje katerega koli pravilnega mnogokotnika je definirano s formulo:

S = p * h,

kjer je p enak polovici vsote vseh strani danega mnogokotnika, h pa je enako dolžini apofeme.

Lastnosti konveksnih mnogokotnikov

Konveksni poligoni imajo določene lastnosti. Torej je segment, ki povezuje vse dve točki takšne geometrijske figure, nujno v njem. Dokaz:

Recimo, da je P dani konveksni mnogokotnik. Vzemite dve poljubnih točk, na primer A in B, ki pripadajo P. Po sedanji opredelitvi konveksnega mnogokotnika, so te točke, ki se nahaja na eni strani premice, ki vsebuje vse smeri R. Zato AB ima tudi to lastnost, ki je vsebovana v R. A konveksni mnogokotnik vedno se lahko razdeli na več trikotnikov absolutno vse diagonal, ki je v lasti enega od svojih tock.

Koti konveksnih geometrijskih številk

Koti konveksnega mnogokotnika so koti, ki jih tvorijo njene stranice. Notranji koti so v notranjem delu te geometrijske slike. Kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se konvergirajo v eni verigi, imenujemo kot konveksnega mnogokotnika. Angeli v bližini z notranjimi koti določene geometrijske figure, imenujemo zunanje. Vsak kot v konveksnem poligonu, ki se nahaja v njej, je enak:

180 ° - x,

kjer je x vrednost zunanjega kota. Ta preprosta formula velja za vse geometrijske figure te vrste.

Na splošno velja za zunanje kota naslednje pravilo: vsak kot konveksnega mnogokotnika je enak razliki med 180 ° in vrednostjo notranjega kota. Lahko ima vrednosti v območju od -180 ° do 180 °. Če je notranji kot 120 °, bo zunanji kot 60 °.

Vsota kotov konveksnih mnogokotnikov

Vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika je določena s formulo:

180 ° * (n-2),

kjer je n število vozlišč n-gona.

Vsota kotov konveksnega mnogokotnika je izračunana precej preprosto. Upoštevajte vse takšne geometrijske figure. Če želite določiti vsoto kotov znotraj konveksnega mnogokotnika, je treba eno od njenih tock povezati z drugimi tockami. Kot rezultat tega ukrepa dobimo (n-2) trikotnike. Znano je, da je vsota kotov katerega koli trikotnika vedno 180 °. Ker je njihovo število v poljubnem poligonu enako (n-2), je vsota notranjih kotov takšne slike 180 ° x (n-2).

Znesek konveksnih vogalov, sicer katerikoli dve sosednji notranji in zunanji koti jim je v tem konveksno geometrijskega lika bo vedno enak 180 °. Iz tega sledi, da je mogoče določiti vsoto vseh njegovih kotov:

180 x n.

Vsota notranjih kotov je 180 ° * (n-2). Iz tega sledi, da je vsota vseh zunanjih kotov danega števila določena s formulo:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Vsota zunanjih kotov katerega koli konveksnega poligona bo vedno 360 ° (ne glede na število njegovih strani).

Zunanji kot konveksnega mnogokotnika je na splošno prikazan z razliko med 180 ° in vrednostjo notranjega kota.

Druge lastnosti konveksnega mnogokotnika

Poleg osnovnih lastnosti teh geometrijskih slik imajo tudi druge, ki nastanejo pri manipuliranju z njimi. Tako se lahko katerikoli od mnogokotnikov razdeli na več konveksnih n-gon. Za to je potrebno nadaljevati vsako svojo stran in to geometrijsko sliko razrezati vzdolž teh ravnih črt. Split koli poligon v več konveksnih delih je mogoče, in tako, da je vrh vsakega izmed kosov sovpada z vsemi svojimi tock. Iz te geometrijske slike je zelo preprosto izdelati trikotnike, tako da držite vse diagonale iz ene vertexe. Tako je vsak poligon, na koncu, se lahko razdeli na določeno število trikotnikov, kar je zelo uporabno pri reševanju različnih nalog, povezanih s takšnimi geometrijskih oblik.

Perimeter konveksnega mnogokotnika

Segmenti prelomljene črte, imenovane strani mnogokotnika, so najpogosteje označeni z naslednjimi črkami: ab, bc, cd, de, ea. To so stranice geometrijske figure z vrha a, b, c, d, e. Vsota dolžin vseh strani tega konveksnega mnogokotnika imenujemo njen perimeter.

Krog poligona

Konveksne mnogokotnike je mogoče vpisati in opisati. Krog, ki se dotika vseh strani te geometrijske figure, se vpiše vanj. Tak poligon se imenuje opisano. Središče kroga, ki je vpisano v poligonu, je točka presečišča bisectors vseh kotov znotraj določene geometrijske slike. Področje takega poligona je enako:

S = p * r,

kjer je r polmer vpisanega kroga, p pa semiperimeter danega mnogokotnika.

Krog, ki vsebuje tocke poligona, se imenuje v bližini. V tem primeru se vpiše ta konveksna geometrijska slika. Središče kroga, ki je opisano ob takem poligonu, predstavlja točko presečišča tako imenovanih srednjih navpičnic na vseh straneh.

Diagonali konveksnih geometrijskih številk

Diagoni konveksnega mnogokotnika so segmenti, ki ne povezujejo sosednjih tock. Vsaka od njih leži znotraj te geometrijske figure. Število diagonal takega n-gona se določi po formuli:

N = n (n-3) / 2.

Število elementov v konveksnem poligonu ima pomembno vlogo pri elementarni geometriji. Število trikotnikov (K), v katere je mogoče razdeliti vsak konveksni mnogokotnik, se izračuna po naslednji formuli:

K = n - 2.

Število diagonal konveksnega mnogokotnika je vedno odvisno od števila njegovih tock.

Razdelitev konveksnega mnogokotnika

V nekaterih primerih je za razrešitev geometrijskih problemov potrebno razbiti konveksni mnogokotnik v več trikotnikov z neugodnimi diagonali. Ta problem se lahko reši z izdelavo določene formule.

Opredelitev problema: pokličemo določeno particijo konveksnega n-gona v več trikotnikov s pomočjo diagonal, ki se sekata samo na tocke te geometrijske slike.

Rešitev: Recimo, da so P1, P2, P3 hellip-, Pn so tocke tega n-gona. Številka Xn je število njegovih particij. Pazljivo razmislimo o diagonali geometrijske figure Pi Pn. V kateri koli redni particiji P1 Pn pripada določenemu trikotniku P1 Pi Pn, za katerega je 1

Naj bo i = 2 ena skupina rednih particij, ki vedno vsebujejo diagonalno P2 Pn. Število particij, ki vstopajo v njej, sovpada s številom particij (n-1) -gon P2 P3 P4hellip-Pn. Z drugimi besedami, je enaka Xn-1.

Če i = 3, bo ta druga skupina particij vedno vsebovala diagonale P3 P1 in P3 Pn. Poleg tega se bo število rednih razdelkov, ki jih vsebuje ta skupina, sovpadalo s številom particij (n-2) -gon P3 P4hellip-Pn. Z drugimi besedami, bo enak Xn-2.

Naj i = 4, potem pravilni particije med trikotniki nujno vsebuje trikotnik P4 P1 PN, ki mejijo štirikotnik P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon R5hellip- P4 Pn. Število pravilnih particij kot štirikotnik enaka X4, in število particij (n-3) -gon enaka Xn-3. Na podlagi vsega navedenega lahko rečemo, da je skupno število rednih particij, ki jih vsebuje ta skupina, Xn-3 X4. Druge skupine, v kateri je i = 4, 5, 6, 7hellip- vsebujejo Xn-4 X5, Xn-5 X6, X7 Xn-6 hellip-redne particije.

Naj bo i = n-2, število pravilnih particij v dani skupini sovpada s številom particij v skupini, v kateri je i = 2 (z drugimi besedami, enaka Xn-1).

Ker je X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2hellip-, je število vseh particij konveksnega mnogokotnika enako:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + hellip- + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Primer:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Število rednih pregrad, ki sekajo eno diagonalo

Pri preverjanju posameznih primerov se lahko domneva, da je število diagonal konveksnih n-gonov enako produktu vseh razdelkov te številke z (n-3).

Dokaz te predpostavke: predpostavimo, da je P1n = Xn * (n-3), potem lahko katerikoli n-gon razgradimo v (n-2) -triangle. Hkrati se lahko eno od njih kombinira (n-3) - četverokotnik. Poleg tega ima vsak kvadrilarat diagonalo. Ker ta konveksni geometrijskega lika se dve diagonale lahko izvede, kar pomeni, da v kateremkoli (n-3) -chetyrehugolnikah lahko izvede dodatno diagonalno (n-3). Glede na to lahko sklepamo, da je v vsaki redni particiji mogoče izvesti (n-3) -diagone, ki ustrezajo pogojem te težave.

Območje konveksnih mnogokotnikov

Pogosto pri reševanju različnih problemov elementarne geometrije postane potrebno določiti območje konveksnega mnogokotnika. Recimo, da je (Xi. Yi), i = 1,2,3hellip-n zaporedje koordinat vseh sosednjih tock mnogokotnika, ki nima samozapeljk. V tem primeru se njegova površina izračuna po naslednji formuli:

S = frac12- (vsota- (X_i + X_{i + 1}) (Y_i + Y_{i + 1})),

kjer (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).