Različni načini dokazovanja teoreme Pitagora: primeri, opis in pregledi

V enem se lahko prepričate za sto odstotkov, da je vsako vprašanje, na kakšen kvadrat hipotenuze je enak, katera koli odrasla oseba bo odgovorila drzno: "vsota kvadratov nog". Ta izrek se je trdno ustalil v mislih vsakega izobraženega človeka, vendar je dovolj, da nekoga prosimo, da to dokaže in da lahko pride do težav. Zato se spomnimo in preučimo različne načine dokazovanja pihagorejskega izreka.

Kratek pregled biografije

Pitagorjeva izreka je skoraj vsakomur seznanjena, vendar pa je zaradi nekega razloga biografija osebe, ki jo je proizvedla, ni tako priljubljena. To je mogoče popraviti. Zato je treba pred študijem različnih načinov dokazovanja Pitagorjeve teoreme na kratko spoznati njegovo osebnost.

Pitagora - filozof, matematik, mislec izvorno iz Stara Grčija. Danes je zelo težko razlikovati njegovo biografijo iz legend, ki so nastale v spomin na tega velikega človeka. Toda, kot sledi iz pisem njegovih privržencev, se je na otoku Samos rodil Pitagora iz Samosa. Njegov oče je bil običajen kamen, vendar je njegova mati prišla iz plemenite družine.

Sodeč po legendi je rojstvo Pitagora napovedala ženska po imenu Pythia, v čast, ki so jo klicali fant. Po njenem napovedovanju je moral rojen fantu prinesti številne prednosti in dobro človeštvu. Kar je dejansko storil.

Rojstvo izreke

V mladosti se je Pythagoras preselil Samosov otok v Egipt, kjer se srečajo s slavnimi egiptovskimi modreci. Po srečanju z njimi je bil sprejet v študij, kjer se je naučil vseh velikih dosežkov egiptovske filozofije, matematike in medicine.

Verjetno je bilo v Egiptu, da je Pythagoras navdihnil veličanstvo in lepota piramid in ustvaril svojo veliko teorijo. To lahko šokira bralce, vendar sodobni zgodovinarji verjamejo, da Pythagoras ni dokazal svoje teorije. Svoje znanje je prenesel samo na privržence, ki so kasneje končali vse potrebne matematične izračune.

Karkoli je bilo, danes ni ena metoda dokazovanja te teoreme, ampak nekaj. Danes lahko samo uganemo, kako so stari Grki naredili svoje izračune, zato tu upoštevamo različne načine dokazovanja pihagorejskega izreka.

Pitagorejski izrek

Pred pričetkom izračuna, morate ugotoviti, katere teorije dokazujejo. Teorema Pitagora je slišati takole: "V trikotniku z enim od kotov enako 90^o, vsota kvadratov nog je enaka kvadratu hipotenuse. "

Skupaj je na voljo 15 različnih načinov dokazovanja pihagorejskega izreka. To je dokaj velika številka, zato bodimo pozorni na najbolj priljubljene med njimi.

Prva metoda

Najprej označimo, kaj nam je dano. Ti podatki bodo razširjeni na druge metode dokazovanja pitagorejske izreke, zato je treba zapomniti vse razpoložljive notacije.

Predpostavimo, da glede na pravokotni trikotnik, z nogami a, b in hipotenuzo, enako c. Prvi način dokazovanja temelji na dejstvu, da mora pravokotnik narisati kvadrat.

Da bi to naredili, je treba črtati segment, ki je enak katetam do dolžine noge in obratno. To naj bi imelo za posledico dve enaki strani kvadrata. Ostaja le še dve vzporedni ravnini, kvadrat je pripravljen.

Znotraj dobljene številke morate potegniti še en kvadrat s stranjo, ki je enaka hipotenuzi prvotnega trikotnika. Da bi to naredili, moramo iz tockov ac in stisniti dva vzporedna segmenta enakega c. Tako dobimo tri strani kvadrata, od katerih je ena hipotenuza prvotnega pravokotnega trikotnika. Ostaja le subvencioniranje četrtega segmenta.

Na podlagi dobljene številke lahko sklepamo, da je površina zunanjega trga (a + b)². Če pogledate notranjost slike, lahko vidite, da poleg notranjega kvadrata v njem obstajajo štiri pravokotne trikotnike. Površina vsakega je 0,5aV.

Zato je območje: 4 * 0,5a + s²= 2a + s²

Zato (a + b)²= 2a + s²

In, posledično, s²= a²+v²

Izrek je dokazan.

2. način: podobni trikotniki

Ta formula za dokaz teoreme Pitagora je bila izpeljana na podlagi trditve geometrije na podobnih trikotnikih. Piše, da je kateta pravega trikotnika povprečna sorazmerna za njegovo hipotenuzo in segment hipotenuze, ki se izdaja iz vozlišča kota 90^o.

Začetni podatki ostajajo enaki, zato bomo takoj začeli z dokazi. Narišemo pravokotno stran AB na segment SD. Na podlagi zgornje izjave so trikotne noge:

AC = radic-AB * AD, CB = radic-AB * DV.

Da bi odgovorili na vprašanje, kako dokazati Pythagorean izrek, mora biti dokaz postavljen tako, da kvadratira obe neenakosti.

AC²= AB * AD in CB²= AB * DV

Zdaj moramo dodati nastale neenakosti.

AC²+ NE²= AB * (AD * DV), pri čemer je AD + DV = AB

Izkazalo se je, da:

AC²+ NE²= AB * AB

In posledično:

AC²+ NE²= AB²

Dokaz problema Pitagorejske teoreme in različnih načinov njegovega reševanja zahtevata vsestranski pristop k temu problemu. Vendar pa je ta možnost ena najpreprostejših.

Druga metoda izračuna

Opis različnih načinov dokazovanja pihagorejske izreke o ničemer ne moremo reči, dokler se ne začnete vaditi. Številne metode ne omogočajo le matematičnih izračunov, temveč tudi gradnjo novih številk iz prvotnega trikotnika.

V tem primeru je potrebno zaključiti še en pravokotni trikotnik VSD iz BC. Tako sta zdaj dva trikotnika s skupno nogo BC.

Poznavanje, da so področja podobnih številk razmerje med kvadrati podobnih linearnih dimenzij, potem:

S_avs * z²- S_avd* v² = S_avd* a²- S_up* a²

S_avs* (s²-v²) = a²* (S_avd-S_up)

z²-v²= a²

z²= a²+v²

Ker je iz različnih metod dokazovanja pihagorejske izreke za razred 8 ta varianta komaj primerna, lahko uporabimo naslednji postopek.

Najenostavnejši način dokazati izrek Pitagore. Mnenja

Zgodovinarji verjamejo, da je bila ta metoda prvič uporabljena za dokazovanje teoreme celo v starodavni Grčiji. To je najpreprostejše, saj ne zahteva nobenega izračuna. Če je risba pravilno potrjena, potem dokaz o trditvi, da a²+v²= s² , bo jasno viden.

Pogoji za to metodo se bodo nekoliko razlikovali od prejšnjega. Da bi dokazali izrek, domnevamo, da je pravokotni trikotnik ABC enakokrak trikotnik.

Prevzamemo hipotenuzo AS za stran od trga in imamo tri strani. Poleg tega je treba na kvadratu, ki je nastal, pritegniti dve diagonalni črti. Torej, da bi dobili štiri enakopravne trikotnike znotraj njega.

Na noge AB in CB, morate imeti tudi otrok na kvadratu in narisati eno diagonalno črto v vsakem od njih. Prva črta je potekala iz vozlišča A, druga črta pa se črpa iz C.

Zdaj morate natančno preučiti nastalo risbo. Kot hipotenuze je AC štirje trikotniki enake originalu, ampak v Catete dveh, govori o resničnosti tega izreka.

Mimogrede, je bil zaradi te tehnike, dokazilo o Pitagorov izrek, in rodil znameniti stavek: ". Pitagorejske hlače v vseh smereh so enaki"

Dokazilo G. Garfielda

James Garfield je dvajseti predsednik Združenih držav Amerike. Poleg tega je v zgodovini pustil svoj značaj kot vladar Združenih držav, bil je tudi nadarjen samouk.

Na začetku kariere je bil navadni učitelj v javni šoli, kmalu pa je postal direktor ene od visokošolskih zavodov. Želja po samorazvojju mu je omogočila, da predlaga novo teorijo dokaza pihagorejskega izreka. Izrek in primer njegove rešitve so naslednji.

Najprej morate na list papirja narisati dva pravokotna trikotnika tako, da je katet enega izmed njih nadaljevanje drugega. Vrvice teh trikotnikov je treba povezati tako, da trapezij sčasoma izkaže.

Kot je znano, je površina trapeza enaka produktu polovice vsote njegovih baz do višine.

S = a + b / 2 * (a + b)

Če upoštevamo trapezoid, ki je sestavljen iz treh trikotnikov, potem je njegovo območje mogoče najti takole:

S = av / 2 * 2 + s²/ 2

Sedaj je treba izenačiti oba začetna izraza

2av / 2 + c / 2 = (a + v)²/ 2

z²= a²+v²

Izrek Pitagore in metode njegovega dokazovanja lahko zapišemo ne le v enem delu učbenika. Ampak ali je v njem smiselno, če tega znanja v praksi ni mogoče uporabiti?

Praktična uporaba pihagorejske izreke

Na žalost sodobni učni načrti te teorije uporabljajo samo pri geometričnih težavah. Diplomanti bodo kmalu zapustili šolske stene, ne da bi vedeli, in kako lahko v praksi uporabljajo svoje znanje in spretnosti.

Pravzaprav lahko vsakdo v vsakdanjem življenju uporabi pihagorejsko izrek. Ne le v strokovnem delu, temveč tudi v običajnih domačih zadevah. Razmislimo o več primerih, ko se Pythagorean izrek in metode njegovega dokazovanja lahko izkažejo za zelo nujne.

Povezava med izrekom in astronomijo

Zdi se, kako se zvezde in trikotnike lahko povežejo na papirju. Dejansko je astronomija znanstveno področje, v katerem se pogosto uporablja pihagorejska izreka.

Na primer, upoštevajte gibanje svetlobnega snopa v prostoru. Znano je, da se svetloba premika v obe smeri z isto hitrostjo. Pokliče se pot AB, ki premika svetlobni žarek l. In polovico časa, da mora svetloba priti od točke A do točke B, jo bomo poklicalit. Hitrost žarka - c. Izkazalo se je, da: c * t = l

Če pogledaš na tej isti žarek drugi ravnini, na primer, bo vesoljski ladji, ki se giblje s hitrostjo v, nato pa na podlagi teh nadzornih organov spremenijo svojo hitrost. V tem primeru se bodo celo pritrjeni elementi premikali s hitrostjo v v nasprotni smeri.

Recimo, da stripska plava plava na desno. Nato se točki A in B, med katerim se bori žarek, premaknejo v levo. Še več, ko se premakne pramen iz točke A do točke B, točka A čas, da se premaknete, in zato je svetloba prišla v novo točko C. Če želite polovico razdalje, na kateri je točka A premakne, je treba pomnožiti hitrost ladje v pol potovanja žarka čas (t `).

d = t `* v

In, da bi ugotovili, kako daleč lahko prodira žarek svetlobe, je treba določiti polovico poti novega bukve in dobiti naslednji izraz:

s = c * t `

Če si predstavljamo, da so točke svetlobe C in B, kot tudi kozmična linija so tokovi enakopravnega trikotnika, se segment od točke A do podloge razdeli v dva pravokotna trikotnika. Zato, zahvaljujoč pihagorejskemu izreku, lahko najdemo razdaljo, ki bi jo lahko prodrl žarek svetlobe.

s² = l² + d²

Ta primer, seveda, ni najuspešnejši, saj so lahko samo enote dovolj srečne, da bi jo lahko poskusile v praksi. Zato upoštevajte bolj običajne različice uporabe te izreke.

Polmer prenosa prenosnega signala

Sodobnega življenja ni mogoče zamisliti brez obstoja pametnih telefonov. Toda koliko bi bilo za to, da bi proc, če ne bi mogli povezati naročnikov preko mobilne komunikacije?!

Kakovost mobilne komunikacije je neposredno odvisna od višine antene mobilnega operaterja. Če želite izračunati razdaljo od mobilnega stolpa, lahko telefon prejme signal, lahko uporabite teorem Pitagorejcev.

Recimo, da moramo najti približno višino stacionarnega stolpa, tako da lahko propagira signal v radiju 200 kilometrov.

AB (višina stolpa) = x;

BC (polmer prenosa signala) = 200 km;

OS (radij globus) = 6380 km;

Od tu

OB = OA + ABOV = r + x

Z uporabo izreka Pythagoras bomo ugotovili, da najmanjša višina stolpa znaša 2,3 km.

Pitagorejski izrek v vsakdanjem življenju

Ironično je lahko, da je Pythagorean izrek koristen tudi v vsakodnevnih zadevah, na primer pri določanju višine omare. Na prvi pogled ni potrebe po uporabi takih zapletenih izračunih, saj lahko enostavno opravite meritve z uporabo rulete. Toda mnogi se sprašujejo, zakaj v procesu sestavljanja obstajajo določeni problemi, če so bile vse meritve prevzete bolj natančno.

Dejstvo je, da je omara sestavljena v vodoravnem položaju in se šele nato dvigne in se pritrdi na steno. Zato mora biti bočnica omare med dviganjem konstrukcije prosta tako v višini kot diagonali prostora.

Recimo, da je omara s globino 800 mm. Razdalja od tal do stropa je 2600 mm. Izkušeni izdelovalec pohištva bo rekel, da je višina ohišja 126 mm manjša od višine prostora. Ampak zakaj na 126 mm? Razmislite o primeru.

Preverimo učinek Pitagorejske izreke za idealne dimenzije kabineta:

AC = radik-AB²+radik-sonce²

AC = radik-2474²+800²= 2600 mm - vse konvergira.

Predpostavimo, da višina ohišja ni 2474 mm, temveč 2505 mm. Potem:

AC = radik-2505²+radic-800²= 2629 mm.

Zato ta omara ni primerna za vgradnjo v to sobo. Kot pri dvigovanju v navpični položaj lahko poškodujete njegovo telo.

Morda, ko so različni znanstveniki preučili različne načine dokazovanja teoreme Pitagora, lahko sklepamo, da je več kot resnično. Zdaj lahko uporabite informacije, prejete v vašem vsakdanjem življenju, in popolnoma prepričajte se, da bodo vsi izračuni ne samo koristni, ampak tudi resnični.