Preprosta shematična metoda za reševanje sistemov linearnih enačb (SLAE)

Metoda enostavne ponovitve, imenovana tudi metoda zaporednega približevanja, je matematični algoritem za iskanje vrednosti neznane količine s postopnim izpopolnjevanjem. Bistvo te metode je, da, kot pove že ime, se postopoma razvija od začetnega približevanja, sledijo pa še bolj izpopolnjeni rezultati. Ta metoda se uporablja za iskanje vrednosti spremenljivke v določeni funkciji, kot tudi za reševanje sistemov enačb, tako linearnih kot nelinearnih.

Poglejmo, kako se ta metoda izvaja pri reševanju SLAE. Preprosta shema ponovitve ima naslednji algoritem:

1. Preverjanje izpolnjevanja konvergenčnega pogoja v prvotni matrici. konvergenčni izrek: Če je prvotna sistem matrika diagonalno dominantna (tj vsaka vrstica elementov glavni diagonali mora biti večja v velikosti kot vsota elementov stranskih diagonal v absolutni vrednosti), pri čemer postopek enostavnih iteracij - konvergentna.

2. Matrika prvotnega sistema nima vedno diagonalne prednosti. V takšnih primerih se lahko sistem pretvori. Enačbe, ki izpolnjujejo pogoj konvergence, ostanejo nedotaknjene in z neustreznimi sestavljajo linearne kombinacije, npr. pomnožite, odštejte, dodajte enačbe drug drugemu, dokler ne dobite želenega rezultata.

Če v nastalem sistemu na glavni diagonali obstajajo neprimerni koeficienti, potem na oba dela take enačbe dodamo izraze oblike c_i* x_i, katere znaki morajo sovpadati z znaki diagonalnih elementov.

3. Preoblikovanje dobljenega sistema v normalno obliko:

x^-= beta-^-+alfa- * x^-

To lahko storimo na več načinov, na primer: iz prve enačbe izrazi x₁ preko drugih neznancev, od drugega₂, od tretjega₃ in tako naprej. Uporabljamo naslednje formule:

alfa-_ij= - (a_ij / a_(ii)

_i= b_i/ a_ii
Ponovno moramo preveriti, ali nastali sistem normalne oblike ustreza pogoju konvergence:

sum (j = 1) | alfa-_ij| le-1, z i = 1,2, ... n

4. Dejansko začnemo uporabljati metodo zaporednih aproksimacij.

x⁽⁰⁾- začetno približevanje, izražamo skozi x⁽¹⁾, nato z x⁽¹⁾ izražamo x⁽²⁾. Splošna formula v matrični obliki izgleda takole:

x⁽ⁿ⁾= beta-^-+alfa- * x^(n-1)

Izračunamo, dokler ne dosežemo zahtevane natančnosti:

max | x_i(k) -x_i(k + 1) le-ε

Torej, v praksi analiziram metodo preproste ponovitve. Primer:
Za rešitev SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 z natančnostjo epsilon- = 10^-3

Poglejmo, ali diagonalni elementi prevladujejo v modulu.

Vidimo, da samo tretja enačba izpolnjuje pogoj konvergence. Prvo in drugo preoblikujemo, v prvo enačbo dodamo drugo:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Od tretjega odštevamo prvo:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Izvirni sistem smo spremenili v enakovreden sistem:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4

Zdaj sistem zmanjšamo na normalno obliko:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Preverimo konvergenco iterativnega procesa:

0,0798 + 0,3158 = 0,3947 le-1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 le-1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 le-1, tj. pogoj je izpolnjen.

0,3957
Začetno približevanje x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Te vrednosti nadomestimo z enačbo normalne oblike, dobimo naslednje vrednosti:

0.08835
x⁽¹⁾= 0,486793
0,446639

Če dodamo nove vrednosti, dobimo:

0.215243
x⁽²⁾= 0,405396
0,558336

Izračune nadaljujemo do trenutka, ko se približujemo vrednostim, ki izpolnjujejo dan pogoj.

0,18813

x⁽⁷⁾= 0,441091

0,544319

0,188002

x⁽⁸⁾ = 0,44164

0,544428

Preverimo pravilnost rezultatov:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2.0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Rezultati, pridobljeni z zamenjavo vrednosti, ugotovljenih v začetnih enačbah, popolnoma izpolnjujejo pogoje enačbe.

Kot vidimo, preprosta metoda ponovitve prinaša dokaj natančne rezultate, toda za rešitev te enačbe smo morali porabiti veliko časa in narediti veliko napornih izračunih.