Težave, rešene z uporabo enačbe. Reševanje problemov v matematiki

Med šolsko matematiko so nujno težave. Nekateri so prikrite v več dejanjih, drugi zahtevajo nekaj uganke.

Naloge, ki jih je treba rešiti s pomočjo enačbe, le na prvi pogled težko. Če boste vadili, bo ta proces samodejen.

Geometrijske oblike

Da bi razumeli vprašanje, morate razumeti bistvo. Previdno preberite pogoj, je bolje, da se večkrat preberete. Težave pri enačbah so le na prvi pogled težke. Poglejmo, da je primer za začetek najbolj preprost.

Glede na pravokotnik, morate najti svoje območje. Glede na to: širina je 48% manjša od dolžine, perimeter pravokotnika je 7,6 cm.

Reševanje problemov v matematiki zahteva natančno branje, logiko. Spravimo skupaj skupaj. Kaj morate najprej upoštevati? Določimo dolžino x. Zato je v naši enačbi širina 0,52x. Imeli smo perimeter - 7,6 cm. Najdemo polovico perimetra, za ta 7,6 centimetrov se delimo z 2, je 3,8 centimetra. Dobili smo enačbo, s pomočjo katere najdemo dolžino in širino:

0,52x + x = 3,8.

Ko dobimo x (dolžino), ne bo težko najti 0.52x (širino). Če poznamo te dve količini, potem najdemo odgovor na glavno vprašanje.

Problemi, rešeni s pomočjo enačbe, niso tako zapleteni, kot se zdijo, smo lahko razumeli iz prvega primera. Ugotovili smo dolžino x = 2,5 centimetra, širino (označili bomo y) 0,52 x = 1,3 centimetra. Prehodimo na trg. Najdemo ga s preprosto formulo S = x * y (za pravokotnike). V našem problemu, S = 3,25. To bo odgovor.

Poglejmo nekaj primerov reševanja problemov pri iskanju območja. In tokrat vzamemo pravokotnik. Reševanje problemov v matematiki pri iskanju oboda, območje različnih številk je precej pogosto. Prebrali smo stanje problema: podan je pravokotnik, njegova dolžina je 3,6 centimetra večja od širine, kar je 1/7 oboda slike. Poiščite območje tega pravokotnika.

Primerno je označiti širino spremenljivke x in dolžino po (x + 3.6) centimeter. Poiščite obseg:

P = 2x + 3,6.

Ne moremo rešiti enačbe, ker imamo v njej dve spremenljivki. Zato ponovno razmislimo o stanju. Piše, da je širina 1/7 oboda. Dobimo enačbo:

1/7 (2x + 3.6) = x.

Za udobnost rešitve pomnožimo vsak del enačbe z 7, tako da se znebimo frakcije:

2x + 3.6 = 7x.

Po raztopini dobimo x (širino) = 0,72 centimetra. Če poznamo širino, najdemo dolžino:

0,72 + 3,6 = 4,32 glej

Zdaj poznamo dolžino in širino, odgovorimo na glavno vprašanje o tem, kaj je območje pravokotnika enako.

S = x * y, S = 3,1104 cm.

Trdi z mlekom

Reševanje problemov s pomočjo enačb povzroča veliko težav šolskim otrokom, kljub dejstvu, da se ta tema začne v četrtem razredu. Obstaja veliko primerov, pogledali smo na iskanje območja številk, ki so zdaj malo odmaknili od geometrije. Oglejmo si preproste naloge s tabeliranjem, vam pomagajo vizualno: tako si lahko ogledate podatke, ki pomagajo pri rešitvi.

Otroke povabite, naj preberete stanje težave in ustvarite tabelo, ki vam bo pomagala sestaviti enačbo. Tukaj je pogoj: dve pločevinki sta v prvih treh krat več mleka kot v drugem. Če prvič nalijemo pet litrov v drugo, bo mleko enako. Vprašanje: koliko mleka je bilo v vsaki pločevinki?

Če želite pomagati pri rešitvi, morate ustvariti tabelo. Kako bi bilo videti?

Kako bo to pomagalo pri oblikovanju enačbe? Vemo, da je zaradi mleka postal enak, zato bo enačba videti tako:

3x-5 = x + 5-

2x = 10-

x = 5.

V drugi pločevinki smo našli prvotno količino mleka, kar pomeni, da je bilo v prvem: 5 * 3 = 15 litrov mleka.

Zdaj malo pojasnila o kompilaciji tabele.

Zakaj smo za 3x označili prvo posodo: v pogojih je določeno, da je drugi mlečni top trikrat manj. Nato smo prebrali, da smo iz prvega kanisterja izpraznili 5 litrov 3x5, in v drugem vlije: x + 5. Zakaj smo te pogoje izenačili? V pogojih problema je rečeno, da je mleko postalo enako.

Tako dobimo odgovor: prvi top - 15 litrov, drugi - 5 litrov mleka.

Določanje globine

Pogoj problema: globina prve vdolbine je 3,4 metra večja od druge. Prva vdolbina je bila povečana za 21,6 metra, druga pa trikrat po teh ukrepih imajo vdolbine enako globino. Potrebno je izračunati, kakšno globino je imela vsaka vrtina prvotno.

Metode za reševanje problemov so številne, lahko naredimo akcije, ustvarimo enačbe ali njihov sistem, druga možnost pa je najprimernejša. Za rešitev, ustvarimo tabelo, kot v prejšnjem primeru.

Zdaj se obrnemo na formulacijo enačbe. Ker so vdolbine enake globine, ima naslednjo obliko:

x + 3,4 + 21,6 = 3x-

x = 3x =-25-

-2x = -25-

x = -25 / -2-

x = 12,5

Prvotno globino drugega vdora smo našli, zdaj pa lahko najdemo prvo:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Po opravljenih potezah napišemo odgovor: 15,9 m, 12,5 m.

Dva brata

Upoštevajte, da se ta naloga razlikuje od vseh prejšnjih, ker je bilo stanje prvotno enako število predmetov. Iz tega izhaja pomožna tabela v obratnem vrstnem redu, to je, od "je postala" do "je bila."

Pogoj: dvoje bratov je dobilo enako število oreškov, vendar pa je staršem dal svojega brata 10, zatem pa so orehi mlajšega postali petkrat večji. Koliko matic je tam za vsakega fanta?

Formuliramo enačbo:

x + 10 = 5x - 10-

-4x = -20-

x = 5 - postal oreh starejšega brata;

5 * 5 = 25 - mlajši brat.

Zdaj lahko napišete odgovor: 5 matice - 25 orehov.

Nakupovanje

V šoli morate kupiti knjige in zvezke, prvi dražji od drugega pri 4,8 rublja. Če želite kupiti enake pet knjig in enaindvajset zvezkov z enako količino denarja, morate izračunati, koliko en prenosni računalnik in ena knjiga stane.

Preden nadaljujete z rešitvijo, je treba odgovoriti na naslednja vprašanja:

• V čem je težava problem?
• Koliko so plačali?
• Kaj si kupil?
• Katere vrednote je mogoče izravnati?
• Kaj morate vedeti?
• Za kaj je vrednost x?

Če ste odgovorili na vsa vprašanja, se obrnite na rešitev. V tem primeru se vrednost x lahko upošteva kot cena enega zvezka in stroški knjige. Razmislimo o dveh možnih variantah:

1. x je strošek enega prenosnika, nato x + 4.8 - cena knjige. Iz tega sledimo enačbi: 21x = 5 (x + 4,8).
2. x je torej cena knjige x - 4.8 - cena prenosnega računalnika. Enačba ima obliko: 21 (x - 4.8) = 5x.

Izberete lahko bolj priročno možnost za sebe, nato rešite dve enačbi in primerjate odgovore, v celoti pa bi morali sovpadati.

Prvi način

Rešitev prve enačbe je:

21x = 5 (x + 4,8) -

4,2x = x + 4,8-

4,2x-x = 4,8-

3,2 x = 4,8-

x = 1,5(ruble) - stroški enega prenosnika;

4,8 + 1,5 = 6,3 (rubljev) - stroški ene knjige.

Drug način reševanja te enačbe (odpiranje oklepajev):

21x = 5 (x + 4,8) -

21x = 5x + 24-

16x = 24-

x = 1,5 (ruble) - stroški enega prenosnika-

1,5 + 4,8 = 6,3 (rubljev) - stroški ene knjige.

Drugi način

5x = 21 (x - 4,8) -

5x = 21x - 100,8-

16x = 100,8-

x = 6,3 (ruble) - stroški 1 knjige;

6,3 - 4,8 = 1,5 (ruble) - stroški enega prenosnika.

Kot je razvidno iz primerov, so odgovori enaki, zato je problem rešen pravilno. Pazite na pravilnost rešitve, v našem primeru odgovori ne smejo biti negativni.

Obstajajo še drugi problemi, ki jih je mogoče rešiti s pomočjo enačbe, na primer pri gibanju. Poglejmo jih podrobneje v naslednjih primerih.

Dva avtomobila

V tem poglavju bomo razpravljali o nalogah gibanja. Če jih želite rešiti, morate poznati naslednje pravilo:

S = V * T,

S - razdaljo, V - hitrosti, T - čas.

Poskusimo razmisliti o primeru.

Dva avtomobila zapustil hkrati od točke A do točke B. Prvo skupno prevoženo razdaljo z enako hitrostjo, v prvi polovici drugega poti potuje s hitrostjo 24 km / h, in drugi - 16 km / h. Treba je določiti hitrost prvega motorista, če so v točki B prišli hkrati.

Kaj moramo sestaviti enačbo: glavna spremenljivka V₁ (hitrost prvega avtomobila), sekundarno: S - pot, T₁ - čas na poti prvega avtomobila. Enačba: S = V₁ * T_1.

Naprej: drugi avtomobil je prvi polovici poti (S / 2) potoval s hitrostjo V₂= 24 km / h. Dobimo izraz: S / 2 = 24 * T_2.

Naslednji del potovanja je potoval s hitrostjo V₃ = 16 km / h. Dobimo S / 2= 16 * T₃.

Nadalje, iz pogoja je mogoče ugotoviti, da so avtomobili prispeli sočasno, torej T₁ = T₂ + T₃. Zdaj moramo izraziti spremenljivke T₁, T₂,T₃ iz prejšnjih pogojev. Dobimo enačbo: S / V₁ = (S / 48) + (S / 32).

S se obravnava kot enotnost in rešujemo enačbo:

1 / V₁ = 1/48 + 1 / 32-

1 / V₁ = (2/96) + (3/96) -

1 / V₁ = 5 / 96-

V₁ = 96 / 5-

V₁ = 19,2 km / h.

To je odgovor. Problemi, rešeni z uporabo enačbe, so zapleteni le na prvi pogled. Poleg zgornjih predlogov se lahko delovne naloge srečajo, kaj je, upoštevajte v naslednjem poglavju.

Job Challenge

Za rešitev te vrste nalog morate poznati formulo:

A = VT,

kjer je A delo, V je produktivnost.

Za podrobnejši opis morate navesti primer. Ob "Reševanje težav enačbo" (razred 6) ne sme vsebovati take težave, saj je težje ravni, kljub temu pa dajejo zgled za referenco.

Previdno preberite pogoj: dva delavca sodelujeta in načrtujejo, da bodo izvedli dvanajst dni. Treba je določiti, koliko časa bo potreben za prvega zaposlenega, da sam izpolni isto normo. Znano je, da dva dni opravlja delo kot drugi zaposleni tri dni.

Reševanje težav pri sestavljanju enačb zahteva natančno branje stanja. Prva stvar, ki smo jo razumeli iz naloge, da delo ni definirano, pomeni, da ga vzamemo kot enoto, to je A = 1. Če je težava približno določeno število delov ali litrov, je treba te podatke vzeti iz teh podatkov.

Označite produktivnost prvega in drugega delavca skozi V₁ in V₂ Zato je v tej fazi mogoča naslednja enačba:

1 = 12 (V₁ + V₂).

Kaj nam pove ta enačba? To delo opravijo dve osebi v dvanajstih urah.

Nadalje lahko navedemo: 2V₁ = 3V₂. Ker prvi za dva dni naredi toliko kot drugi v treh. Dobili smo sistem enačb:

1= 12 (V1 + V2) -

2V₁ = 3V_2.

Na podlagi rešitve sistema smo dobili enačbo z eno spremenljivko:

1 - 8V₁ = 12V_1-

V₁ = 1/20 = 0,05.

To je produktivnost dela prvega delavca. Zdaj lahko najdemo čas, za katerega se bo prva oseba spopadala z vsemi deli:

A = V₁ * T_1-

1 = 0,05 * T₁-

T₁ = 20.

Od dneva je bil vzet kot enota časa, odgovor je: 20 dni.

Reformulacija problema

Če ste obvladali spretnost za reševanje težav s prometom in imate težave pri nalogah za delo, potem je mogoče dobiti promet z dela. Kako? Če vzamemo zadnji primer, potem je pogoj naslednji: Oleg in Dima se premikajo drug proti drugemu, se srečata v 12 urah. Za koliko način za premagovanje lastnega Oleg, če veste, da je dve uri prevozi razdaljo enak način Dima tri ure.