Enačba - kaj je to? Opredelitev izraza, primeri

V šolski matematiki otrok prvič sliši izraz "enačba". Kaj je to, poskusimo skupaj ugotoviti. V tem članku bomo preučili vrste in načine rešitve.

Matematika. Enačbe

Za začetek ponujamo, da razumemo sam pojem, kaj je to? Kot pravijo številni učbeniki iz matematike, je enačba nekaj izrazov, med katerimi je nujno enakovreden znak. V teh izrazih so črke, tako imenovane spremenljivke, katerih pomen je treba najti.

Kaj je spremenljivka? To je atribut sistema, ki spreminja njen pomen. Jasen primer spremenljivk so:

• temperatura zraka;
• rasti otrok;
• teža in tako naprej.

V matematiki so označeni s črkami, na primer x, a, b, c ... Običajno naloga v matematiki zveni takole: poiščite vrednost enačbe. To pomeni, da morate poiskati vrednost teh spremenljivk.

Sorte

Enačba (kar smo razstavili v prejšnjem odstavku) je lahko v naslednji obliki:

• linearno;
• kvadrat;
• kubični;
• algebrski;
• transcendentalno.

Za podrobnejše seznanjenost z vsemi vrstami bomo obravnavali vsako posebej.

Linearna enačba

To je prva vrsta, ki jo šolarji spoznajo. Rešujejo se precej hitro in enostavno. Torej, linearna enačba, kaj je to? To je izraz oblike: ax = c. Torej, ni zelo jasno, dajmo nekaj primerov: 2x = 26-5x = 40-1.2x = 6.

Preverimo primere enačb. Za to moramo zbrati vse znane podatke z ene strani in neznane v drugem: x = 26 / 2- x = 40/5 x = 6 / 1,2. Tukaj smo uporabili osnovna pravila matematike: a * c = e, od tega c = e / a - a = e / c. Da bi zaključili rešitev enačbe, izvedemo eno dejanje (v našem primeru delitev) x = 13-x = 8-x = 5. To so bili primeri množenja, zdaj pa pogled na odštevanje in dodatek: x + 3 = 9 - 10x-5 = 15. Znani podatki se prenesejo na eno stran: x = 9-3-x = 20/10. Izvedemo zadnje dejanje: x = 6-x = 2.

Prav tako so linearnih enačb, mogoče variante, kjer več kot eno spremenljivko: 2x-2y = 4. Da bi rešili, je treba dodati vsak del 2Y, smo dobili 2x-2y + 2y = 4-2u, kot smo videli, na levi strani enačaja in -2u + 2y zmanjša, zato smo zapustili z: 2x = 4 -2y. Zadnji korak razkorak vsak del obeh smo dobili odgovor: X je dva minus y.

Težave z enačbami se srečujejo tudi na Ahmessovih papihih. Tukaj je ena od nalog: številka in četrti del dajo skupno 15. Za rešitev problema pišemo naslednjo enačbo: x plus ena četrtina x je enaka petnajstem. Vidimo še en primer linearna enačba, na rezultat rešitve dobimo odgovor: x = 12. Toda ta problem se lahko reši na drugačen način, in sicer egiptovskega ali, kako se jo imenuje na drug način, metoda prevzemanja. V papyrusu se uporablja naslednja rešitev: vzemite štiri in četrti del, to je ena. Če povzamemo, dajo pet, zdaj petnajst, jih je treba razdeliti na vsoto, dobimo tri, zadnje dejanje tri, pomnožene s štirimi. Odgovor dobimo: 12. Zakaj se v odločitvi delimo s petnajstimi za pet? Tako vemo, kolikokrat petnajst, to je rezultat, ki ga moramo dobiti, manj kot pet. To je bil način reševanja problemov v srednjem veku, imenovan je metoda lažnosti.

Kvadratne enačbe

Poleg že obravnavanih primerov obstajajo tudi drugi. Kateri? Kvadratna enačba, kaj je? Imajo obliko ax²+bx + c = 0. Da bi jih rešili, se morate seznaniti z določenimi pojmi in pravili.

Najprej moramo poiskati diskriminanto po formuli: b²-4ac. Za rešitev rešitve obstajajo tri možnosti:

• diskriminant je večji od nič;
• manj kot nič;
• je enako nič.

V prvi različici lahko dobimo odgovor od dveh korenin, ki sta po formuli: -b + A korenom diskriminantne deljeno z dvakratno prvega koeficienta, tj 2a.

V drugem primeru enačba nima korenin. V tretjem primeru je koren po formuli: -b / 2a.

Razmislite primer kvadratne enačbe za podrobnejši znanec: tri X na kvadrat minus štirinajst X minus pet enaka nič. Za začetek, kot je napisano zgoraj, je videti discriminant, v našem primeru pa je enaka 256. Upoštevajte, da je nastala število večje od nič, zato, da bi morali dobiti odgovor, sestavljeno iz dveh korenin. Prejete diskriminante nadomestimo v formulo za iskanje korenin. Posledično imamo: X je enak petim in manj tretjim.

Posebni primeri v kvadratnih enačbah

To so primeri, pri katerih so nekatere vrednosti nič (a, b ali c) in morda več.

Na primer, vzemimo naslednjo enačbo, ki je kvadratna: dva x v kvadratu enaka nič, tukaj vidimo, da sta b in c nič. Poskusimo to rešiti, za to delimo obe delici enačbe na dva, imamo: x²= 0. Posledično dobimo x = 0.

Še en primer 16x²-9 = 0. Tukaj je samo b = 0. Rešimo enačbo, prenesite prosti koeficient na desno stran: 16x²= 9, zdaj delimo vsakega šestnajstega dela: x²= devetnajstega. Ker imamo v kvadratu x, je koren 9/16 lahko negativen ali pozitiven. Odgovor je napisan takole: X je enak plus / minus tri četrtine.

Možna je različica odgovora, saj koreninska enačba ne omogoča. Oglejmo si primer: 5x²+80 = 0, tukaj b = 0. Za rešitev brezplačnega izraza ga vrnite na desno stran, po teh ukrepih dobimo: 5x²= -80, zdaj del vsakega dela razdelimo na pet delov: x²= minus šestnajst. Če je katera koli kvadrata, potem ne dobimo negativne vrednosti. Zato je naš odgovor: root enačba ne.

Razpad trinomala

Naloga kvadratnih enačb se lahko zveni tudi na drug način: razčleni kvadratni trinomial v množitelje. To lahko naredimo z naslednjo formulo: a (x-x₁) (x-x₂). Za to, kot v drugi različici naloge, je treba najti diskriminanta.

Upoštevajte naslednji primer: 3x²-14x-5, razširite trinomial v množitelje. Poišči Diskriminantna pomočjo že znano formulo, je bilo ugotovljeno, da je 256. Zdaj, upoštevajte, da je 256 večje od nič, zato bo enačba ima dve korenine. Poiščite jih, tako kot v prejšnjem odstavku, imamo: x = minus pet in ena tretjina. Uporabi formulo za razgradnjo trinomial na mnozheteli 3 (x-5) (x + 1/3). V drugem nosilcu imamo enačajem, saj je formula je vredno minus, in koren, preveč, je negativna, uporablja osnovno znanje matematike, v višini imamo znak plus. Zaradi enostavnosti, pomnožimo prvi in ​​tretji mandat enačbe, da se znebite frakcij: (x-5) (x + 1).

Enačbe, ki se zmanjšajo na kvadratno

V tem odstavku se bomo naučili reševati bolj zapletene enačbe. Začnimo z zgledom:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Vidimo podvojene elemente: (x² - 2x), primeren za nas rešitve nadomestiti z drugo spremenljivko, in nato rešiti navadne kvadratne enačbe, samo opozoriti, da v to nalogo dobimo štiri korenine, to ne bi smel prestrašiti. Ponavljamo ponovitev spremenljivke a. Dobimo: a²-2a-3 = 0. Naš naslednji korak je najti diskriminanta nove enačbe. Dobimo 16, najdemo dve koreni: minus ena in tri. Spomnimo se, da smo naredili zamenjavo, nadomestimo te vrednosti, na koncu pa imamo enačbe: x² - 2x = -1 - x² - 2x = 3. Rešimo jih v prvem odgovoru: x je enak enemu, v drugem: x je enak minus ena in tri. Odgovor pišemo na naslednji način: plus / minus ena in tri. Praviloma je odgovor napisan po naraščajočem vrstnem redu.

Kubične enačbe

Razmislimo o eni možni različici. Razpravljali bomo o kubičnih enačbah. Imajo obliko: ax ³ + b x ² + cx + d = 0. Primeri enačb, ki jih bomo obravnavali v nadaljevanju, vendar za začetek malo teorije. Imajo lahko tri korenine, saj obstaja formula za iskanje diskriminanta za kubično enačbo.

Primer: 3x³+4x²+2x = 0. Kako rešiti to? Če želite to narediti, v oklepaju postavimo le x: x (3x²+4x + 2) = 0. Vse kar moramo storiti je, da izračuna korenine enačbe v oklepajih. Diskriminant kvadratne enačbe v oklepajih je manjši od nič, zato ima izraz koren: x = 0.

Algebra. Enačbe

Nadaljujemo z naslednjo obliko. Zdaj na kratko razmislimo o algebrskih enačbah. Ena od nalog se glasi: metoda združevanja razstavi v množitelje 3x⁴+2x³+8x²+2x + 5. Najprimernejši način je naslednja skupina: (3x⁴+3x²) + (2x³+2x) + (5x²+5). Opažamo, da je Sx² iz prvega izraza smo predstavili vsoto 3x² in 5x². Sedaj iz vsakega nosilca odstranimo skupni faktor 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) + 5 (x²+1). Vidimo, da imamo skupni množitelj: x v kvadratu plus eno, vzamemo ga iz oklepajev: (x²+1) (3x²+2x + 5). Nadaljnja razgradnja je nemogoča, saj imata obe enačbi negativno diskriminacijo.

Transcendentalne enačbe

Predlagamo obravnavo naslednje vrste. To so enačbe, ki vsebujejo transcendentalne funkcije, in sicer logaritemsko, trigonometrično ali eksponentno. Primeri: 6in²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 in tako naprej. Kako se rešijo, se boste naučili iz smeri trigonometrije.

Funkcija

Zadnji korak je razmisliti o konceptu funkcijske enačbe. Za razliko od prejšnjih različic ta vrsta ni rešena in na njej je zgrajen graf. Za to je enačba dobro analizirana, poiskati vse potrebne točke za konstrukcijo, izračunati najmanjšo in največjo točko.