Kvadratne enačbe - primeri z rešitvami, singularnostmi in formulami

V sodobni družbi je sposobnost izvajanja akcij z enačbami, ki vsebujejo spremenljiv kvadrat, lahko koristna na številnih področjih dejavnosti in se v praksi pogosto uporablja v znanstvenem in tehničnem razvoju. Dokaz za to lahko služi kot zasnova morskih in rečnih plovil, zrakoplovov in projektilov. S pomočjo takih izračunov določimo potek gibanja različnih teles, vključno s kozmičnimi predmeti. Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb najdejo vlogo ne le pri gospodarskih napovedih, pri načrtovanju in gradnji stavb, ampak tudi v najbolj običajnih vsakdanjih okoliščinah. Morda bodo potrebni pri pohodništvu, športu, v trgovinah pri nakupovanju in v drugih zelo pogostih situacijah.

Izraz smo razdelili na sestavne dejavnike

Stopnja enačbe je določena z najvišjo vrednostjo stopnje y spremenljivke, ki jo vsebuje navedeni izraz. V primeru, da je enak 2, se taka enačba imenuje kvadratna.

Če govorimo o jezikih formul, potem lahko te izraze, ne glede na to, kako so videti, vedno zmanjšajo na obliko, ko je leva stran izraza sestavljena iz treh izrazov. Med njimi: ax² (Tj spremenljivka, postavili na trgu s svojim razmerjem), bx (neznano brez kvadrata s koeficientom) in c (brezplačno komponenta, ki je običajno število). Vse to na desni strani je enačeno 0. V primeru, ko tak polinom ne vsebuje enega od njegovih sestavnih pogojev, z izjemo sekira², se imenuje nepopolna kvadratna enačba. Najprej je treba upoštevati primere z rešitvijo takih problemov, pomembnost spremenljivk, v katerih je težko najti.

Če izraz takšen izgleda tako, da imajo izrazi na desni strani izraza dva, natančneje aks² in bx, je najlažje najti x, tako da spremenljivko vzamemo iz oklepajev. Zdaj bo naša enačba videti takole: x (ax + b). Nadalje postane očitno, da bodisi x = 0, ali pa se problem zmanjša, da bi našli spremenljivko iz naslednjega izraza: ax + b = 0. To narekuje ena od lastnosti množenja. Pravilo pravi, da produkt dveh dejavnikov daje 0 kot rezultat le, če je eden od njih nič.

Primer:

8x² - 3x = 0

x (8x - 3) = 0

Postopek nadaljujemo po pravilu, ki je pravkar opisano.

x = 0 ali 8x - 3 = 0

Posledično dobimo dve koreni enačbe: 0 in 0,375.

Takšne enačbe lahko opisujejo premikanje teles pod gravitacijo, začenši gibanje iz določene točke, ki je vzeta kot izvor. Tukaj matematična notacija ima naslednjo obliko: y = v₀t + gt²/ 2. Če nadomestimo potrebne vrednosti, enačimo desno stran 0 in poiščemo morebitne neznane, lahko ugotovimo čas, ki preteče od trenutka, ko telo dvigne do trenutka padca, pa tudi številne druge količine. Toda kasneje bomo o tem govorili.

Razširitev izraza v množitelje

Zgoraj opisano pravilo omogoča reševanje teh težav v bolj zapletenih primerih. Poglejmo primere z rešitvijo kvadratnih enačb te vrste.

X² - 33x + 200 = 0

Ta kvadratni trinomal je končan. Najprej spremenimo izraz in ga razširimo v množitelje. Obstajata dve: (x-8) in (x-25) = 0. Zato imamo dve koreni 8 in 25.

Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb v devetem razredu omogočajo tej metodi, da najde spremenljivko v izrazih ne le drugega, temveč tudi tretjega in četrtega naročila.

Na primer: 2x³ + 2x² - 18x - 18 = 0. Ko razstavite desno stran v faktorje s spremenljivko, dobite tri, to je (x + 1), (x-3) in (x + 3).

Posledično postane očitno, da ima ta enačba tri korenine: -3 - -1-3.

Ekstrakcija kvadratnega korena

Drug primer nepopolne enačbe drugega reda je izraz v jeziku črk, prikazan tako, da je desna stran zgrajena iz sestavnih delov osi² in c. Tukaj, da bi dobili vrednost spremenljivke, se brezplačni izraz prenese na desno stran, nato pa se kvadratni koren izvleče z obeh strani enakosti. Opozoriti je treba, da so v tem primeru korenine enačbe običajno dve. Izjeme so le enakovrednosti, ki ne vsebujejo izraza c, kjer je spremenljivka nič, in tudi variante izrazov, ko se desna stran izkaže za negativna. V slednjem primeru sploh ni rešitev, ker zgornjih dejanj ni mogoče izvesti s koreninami. Upoštevati je treba primere rešitev kvadratnih enačb te vrste.

3x²- 48 = 0

3x² = 48

V tem primeru so koreni enačbe številke -4 in 4.

Izračun parcele parcele

Potreba po takih izračunih se je pojavila v starih časih, saj je razvoj matematike v mnogih pogledih v teh oddaljenih časih posledica potrebe po natančni določitvi območij in obodov zemlje.

Za nas je treba upoštevati tudi primere z rešitvijo kvadratnih enačb, zbranih na podlagi takšnih problemov.

Torej, domnevno obstaja pravokoten kos zemlje, katerega dolžina je 16 metrov daljša od širine. Treba je najti dolžino, širino in obseg območja, če je znano, da je njegovo območje 612 m².

Če se lotimo poslovanja, najprej naredimo potrebno enačbo. Naj bo x širina preseka, potem bo njegova dolžina (x + 16). Iz zgoraj navedenega sledi, da je območje določeno z izrazom x (x + 16), ki je glede na stanje naše problematike 612. To pomeni, da je x (x + 16) = 612.

Rešitev popolnih kvadratnih enačb in ta izraz je ravno taka, ni mogoče narediti s prejšnjo metodo. Zakaj? Čeprav je na levi strani še vedno dva dejavnika, njihov izdelek sploh ni enak 0, zato se tu uporabljajo tudi druge metode.

Diskriminator

Najprej naredimo potrebne transformacije, potem bo videz tega izraza izgledal takole: x² + 16x - 612 = 0. To pomeni, da smo dobili izraz v obliki, ki ustreza zgornjemu standardu, kjer je a = 1, b = 16, c = -612.

To je lahko primer rešitve kvadratnih enačb skozi diskriminantno. Tukaj potekajo potrebni izračuni po shemi: D = b² - 4ac. Ta pomožna količina ne omogoča samo, da bi našli neznane količine v enačbi drugega reda, ampak določa število možnih variant. V primeru, ko je D> 0, obstajata dve, pri D = 0 pa je en koren. V primeru, ko D<0, sploh ni možnosti za rešitev enačbe.

O koreninah in njihovi formuli

V našem primeru je diskriminanten: 256-4 (-612) = 2704. To pomeni, da obstaja odgovor na naš problem. Če vemo, na primer, za diskriminanto, je treba rešitev kvadratnih enačb nadaljevati z uporabo spodnje formule. Omogoča vam izračun korenin.

To pomeni, da v predstavljenem primeru: x₁= 18, x₂= -34. Druga izvedba tega dileme ne sme biti rešitev, ker je velikost zemljišča odseka ni mogoče meriti v negativne vrednosti, potem je x (to je širina odsek) je 18 m torej izračunamo dolžino :. 18 + 16 = 34, in obod 2 (34+ 18) = 104 (m²).

Primeri in naloge

Še naprej preučujemo kvadratne enačbe. Spodaj bodo navedeni primeri in podrobne rešitve več od njih.

1) 15x² + 20x + 5 = 12x² + 27x + 1

Vse prestavimo na levo stran enačbe, naredimo transformacijo, to pomeni, da dobimo obliko enačbe, ki se imenuje standard, in jo izenačimo z ničlo.

15x² + 20x + 5-12x² - 27x - 1 = 0

Če jih dodamo, definiramo diskriminanto: D = 49 - 48 = 1. Torej bo naša enačba imela dve korenini. Izračunamo jih po zgornji formuli, kar pomeni, da bo prvi od njih 4/3, drugi pa.

2) Zdaj reši uganke druge vrste.

Ugotovimo, ali obstajajo koreni x² - 4x + 5 = 1? Za pridobitev izčrpnega odgovora polinoma zmanjšamo na ustrezno znano obliko in izračunamo diskriminantno. V zgornjem primeru ni potrebno izdelati kvadratne enačbe, kajti bistvo problema sploh ni v tem. V tem primeru je D = 16 - 20 = -4, kar pomeni, da dejansko ni nobenega korena.

Vietski izrek

Primerno je rešiti kvadratne enačbe z zgornjimi formulami in diskriminantom, ko se kvadratni koren izloči iz vrednosti slednjega. Ampak to se vedno ne zgodi. Vendar pa v tem primeru obstaja veliko načinov za pridobivanje vrednosti spremenljivk. Primer: rešitve kvadratnih enačb z Vietovim izrekom. Imenuje se v čast Francois Vieta, ki je živel v 16. stoletju v Franciji in je zaradi svoje matematične talente in povezav na sodišču naredil briljantno kariero. Njegov portret si lahko ogledate v članku.

Vzorec, ki ga je opazil slaven Francoz, je bil naslednji. Dokazal je, da so koreni enačbe v vsoti numerično enaki -p = b / a, njihov produkt pa ustreza q = c / a.

Zdaj si oglejmo določene naloge.

3x² + 21x - 54 = 0

Zaradi preprostosti prevedemo izraz:

x² + 7x - 18 = 0

Uporabljamo izrek Viete, to nam bo dalo naslednje: vsota korenin je -7 in njihov izdelek je -18. Zato smo dobili, da so koreni enačbe številke -9 in 2. Po preverjanju bomo videli, da te vrednosti spremenljivk resnično ustrezajo izrazu.

Enačba grafov in parabole

Koncept kvadratna funkcija in kvadratne enačbe so tesno povezani. Primeri tega so že bili dani prej. Zdaj razmislite o nekaterih matematičnih ugankah malo več. Vsako enačbo opisane vrste je mogoče vizualizirati. Podobna odvisnost, sestavljena v obliki grafa, se imenuje parabola. Njene različne vrste so prikazane na spodnji sliki.

Vsaka parabola ima točko, to je točko, iz katere izhajajo njene podružnice. Če a> 0, gredo visoko do neskončnosti, in ko a<0, jih je potegnilo. Najpreprostejši primer takšne odvisnosti je funkcija y = x². V tem primeru v enačbi x²= 0, neznano lahko sprejme le eno vrednost, to je x = 0, kar pomeni, da obstaja samo en koren. To ni presenetljivo, saj tukaj D = 0, ker a = 1, b = 0, c = 0. Koreninska formula (natančneje en koren) kvadratne enačbe je zapisana kot: x = -b / 2a.

Vizualne slike funkcij pomagajo rešiti vse enačbe, vključno s kvadratnimi. Ta metoda se imenuje grafični. In vrednost spremenljivke x je koordinata abscis v točkah, kjer se črte grafa sekata z 0x. Koordinate vozlišča lahko najdemo iz formule x₀ = -b / 2a. In, z nadomestitvijo dobljene vrednosti v začetno enačbo funkcije, lahko najdemo y₀, to je druga koordinata vozlišča parabole, ki pripada osi ordinatov.

Presečišče parabolnih vej z osjo abscesa

Obstaja veliko primerov z rešitvijo kvadratnih enačb, vendar obstajajo splošni zakoni. Razmislite o njih. Jasno je, da je presečišče grafa z osjo 0 za a> 0 možno le, če je y₀ ima negativne vrednosti. In za a<0 koordinata y₀ mora biti pozitiven. Za navedene variante D> 0. V nasprotnem primeru D<0. In če je D = 0, se vozlišče parabole nahaja neposredno na osi 0x.

Glede na ploskvi parabole lahko določimo tudi korenine. Pogovor je tudi res. To pomeni, da če dobite intuitivno sliko kvadratne funkcije, ni enostavna, lahko izenačite desno stran izraza na 0 in rešite nastalo enačbo. Poznavanje točke presečišča z osjo 0x je grafikon lažje.

Iz zgodovine

S pomočjo enačb, ki vsebujejo spremenljivko, na kvadrat, v starih časih, niso le matematični izračuni in določili področja geometrijskih številk. Tovrstne izračune so potrebovali starši za izjemna odkritja na področju fizike in astronomije ter za pripravo astroloskih napovedi.

Kot domnevajo sodobni znanstveniki, so bili eni od prvih rešitev kvadratnih enačb zasedeni prebivalci Babilona. To se je zgodilo štiri stoletja pred nastopom naše dobe. Seveda so se njihovi izračuni radikalno razlikovali od tistih, ki so bili zdaj sprejeti in so se izkazali za veliko bolj primitivno. Mezopotamski matematiki na primer niso imeli pojma o obstoju negativnih števil. Stranke do njih so bile tudi druge modrosti od tistih, ki jih vsak šolski učitelj danes pozna.

Morda, tudi pred babilonskimi učenjaki, je modri človek iz Indije Baudhayama sodeloval pri reševanju kvadratnih enačb. To se je zgodilo približno osem stoletij pred začetkom Kristusovega obdobja. Res je, da so enačbe drugega reda, metode reševanja, ki jih je navedel, najpreprostejši. Poleg tega so kitajski matematiki zanimali podobna vprašanja v starih časih. V Evropi so kvadratne enačbe začele reševati šele v začetku XIII. Stoletja, pozneje pa so jih v svojih delih uporabljali tako veliki znanstveniki kot Newton, Descartes in mnogi drugi.