Serija Maclaurin in razgradnja določenih funkcij

Študent višje matematike mora vedeti, da je vsota serije moči, ki spada v interval konvergence določene serije, diferencirana funkcija, ki je kontinuirana in neskončno večkrat. Pojavlja se vprašanje: ali je mogoče trditi, da je dano poljubna funkcija f (x) vsota serije moči? To pomeni, pod kakšnimi pogoji lahko f-ti f (x) predstavlja močnostna serija? Pomembnost takega vprašanja je, da je mogoče približno zamenjati f (x) z vsoto več prvih izrazov serije moči, to je polinom. Taka zamenjava funkcije s precej preprostim izrazom - polinomom - je tudi primerna za reševanje določenih problemov matematična analiza, in sicer: pri reševanju integralov, pri izračunu diferencialne enačbe in tako naprej.

Dokazano je, da je za neko f-funkcijo f (x), v kateri je mogoče izračunati derivate do (n + 1) -ta zaporedja, vključno z zadnjim, v soseski (alfa-- R-x₀ + R) neke točke x = alfa-pošta je formula:

Ta formula nosi ime znanega znanstvenika Brooke Taylor. Serija, ki je pridobljena iz prejšnjega, se imenuje serija Maclaurin:

Pravilo, ki omogoča razgradnjo v serijo Maclaurin:

1. Določite derivate prvega, drugega, tretjega ... naročil.
2. Izračunajte, kakšni so derivati ​​pri x = 0.
3. Zapišite serijo Maclaurin za določeno funkcijo in nato določite interval njegove konvergence.
4. Določite interval (-R-R), kjer je preostanek formule Maclaurin

R_n(x) -> 0 kot n -> neskončnost. V primeru, da obstaja, mora funkcija f (x) v njej sovpadati z vsoto serije Maclaurin.

Menimo, da je serija Maclaurin za posamezne funkcije.

1. Tako je prvi f (x) = e^x. Seveda ima takšna funkcija v smislu svojih singularnosti derivate zelo različnih naročil in f^(k)(x) = e^x, kjer je k enako naravno število. Nadomestimo x = 0. Dobimo f^(k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Izhajajoč iz prejšnjega, je serija e^xbo izgledal takole:

2. Serija Maclaurin za funkcijo f (x) = sin x. Takoj pojasnimo, da bo φ-ti za vse neznane tudi derivate, poleg tega pa f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^``(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(k)(x) = sin (x + k * n / 2), kjer je k enako naravno število. To pomeni, da s preprostimi izračuni sklepamo, da bo vrsta za f (x) = sin x oblika:

3. Zdaj poskušamo upoštevati funkcijo f (x) = cos x. Ima derivate poljubnega reda za vse neznane, in | f^(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) |<= 1, k = 1,2 ... Spet naredimo določene izračune, tako da imamo vrsto f (x) = cos x videti takole:

Zato smo našteli najpomembnejše funkcije, ki jih je mogoče razgraditi v serijo Maclaurin, vendar jih za nekatere funkcije dopolnjujejo s Taylorjevimi serijami. Zdaj jih našteva. Prav tako je treba omeniti, da sta serija Taylor in Maclaurin pomemben del delavnice za reševanje serij v višji matematiki. Torej, serija Taylor.

1. Prva je serija za funkcijo f (x) = ln (1 + x). Kot v prejšnjih primerih lahko za dano f (x) = ln (1 + x) dodamo vrsto z uporabo splošne oblike serije Maclaurin. Za to funkcijo pa je mogoče dobiti veliko lažje serije Maclaurin. Vključitev nekaterih geometrijskih serij dobimo serijo za f (x) = ln (1 + x) takega vzorca:

2. In druga, ki bo dokončna v našem članku, bo serija za f (x) = arctg x. Za x, ki sodi v interval [-1-1], velja razširitev:

To je vse. V tem članku so bile upoštevane najbolj uporabljane vrste Taylor in Maclaurin v višji matematiki, zlasti na gospodarskih in tehničnih univerzah.