Metoda tangenc: opis

Mučili v šoli za reševanje enačb v matematičnem razredu, mnogi študentje pogosto menijo, da je njihov čas popolnoma nič, pa vendar bo takšno znanje pride prav v življenju, ne le tistih, ki se odločijo, da sledijo zgledu Descartes, Euler ali Lobačevski.

V praksi, na primer v medicini ali ekonomije, zelo pogosto obstajajo situacije, ko je potrebno specialist, da bi našli, ko je koncentracija aktivne snovi droge doseže želeno raven v bolnikovi krvi, ali je treba za izračun časa, ki je potreben določen posel, da bi postala dobičkonosna.

Najpogosteje govorimo o reševanju nelinearnih enačb različnih tipov. Če želite to storiti čim prej, zlasti z uporabo računalnikov, omogočite numerične metode. So dobro preučeni in že dolgo dokazani učinkoviti. Med njimi je metoda Newtonovih tangentov, katerim je ta članek namenjen.

Formulacija problema

V tem primeru obstaja funkcija g, ki je definirana na segmentu (a, b) in na njej prevzame določene vrednosti, to pomeni, da je mogoče povezati določeno število g (x) z vsakim x, ki pripada (a, b).

Vse korenine enačbe je treba določiti iz intervala med točkama a in b (vključno s koncema), za katere se funkcija ponastavi. Očitno so to točke presečišča y = g (x) z OX.

V nekaterih primerih je primerneje zamenjati g (x) = 0 s podobno enoto oblike g₁(x) = g₂(x). V tem primeru je abscisa (vrednost x) točk presečišča grafov g₁(x) in g₂(x).

Rešitev nelinearne enačbe je pomembna tudi za optimizacijske probleme, pri katerih je lokalni ekstremni pogoj inverzija izpeljanega dela funkcije. Z drugimi besedami, tak problem se lahko zmanjša, da bi našli korenine enačbe p (x) = 0, kjer je p (x) identiteta g `(x).

Metode raztopine

Za nekatere vrste nelinearnih enačb, na primer kvadratne ali preproste trigonometrične enačbe, lahko najdemo korenine na precej preprost način. Zlasti vsak šolar pozna formule, s pomočjo katerih lahko enostavno najdete vrednosti argumenta točk, kjer se kvadratni trinomial ponastavi.

Metode za pridobivanje korenin nelinearnih enačb so običajno razdeljene na analitične (direktne) in iterativne. V prvem primeru ima želena raztopina obliko formule, pri kateri lahko za nekatere število aritmetičnih operacij najdemo vrednost neznanih korenin. Podobne metode so razvite za eksponentne, trigonometrične, logaritmične in preprostejše algebrske enačbe. Za ostalo moramo uporabiti posebne numerične metode. S pomočjo računalnikov so enostavni za uporabo, kar vam omogoča, da poiščete korenine z zahtevano natančnostjo.

Med njimi je tako imenovana numerična metoda tangentov, ki jo je konec 17. stoletja predlagal veliki znanstvenik Isaac Newton. V naslednjih stoletjih je bila metoda večkrat izboljšana.

Lokalizacija

Numerični načini reševanja kompleksnih enačb, ki nimajo analitičnih rešitev, običajno potekajo v dveh fazah. Najprej morate jih lokalizirati. Ta operacija se nanaša na iskanje takšnih segmentov na OX, na katerih obstaja en koren rešljive enačbe.

Razmislite o intervalu [a, b]. Če g (x) nima diskontinuitete in traja vrednosti ob koncu točkah nasprotnih znakov, med položajema a in b ali v sebi vsaj eno koren g (x) = 0. V njem je bilo potrebno le g (x) na [a, b] je bil monoton. Kot je znano, bo ta lastnost imela to lastnost pod pogojem signalne konstante grsquo- (x).

Z drugimi besedami, če [a, b] g (x) brez diskontinuitete in monotono poveča ali zmanjša, in njegova vrednost je konec mestih nimajo isti predznak, nato na [a, b] je eden in samo en koren g (x ).

Treba je opozoriti, da to merilo ne velja za korenine enačb, ki so večkratne.

Rešitev enačbe z bisekcijo

Preden obravnavamo bolj zapleteno numerično metode (metoda tangenta in njenih sort) je vredno spoznati najpreprostejši način odkrivanja korenin. Imenuje se dihotomija in se nanaša na intuitivno metode. Algoritem Iskanje korenin temelji na izreku, da če je za g (x), ki je kontinuiran na [x₀, x₁] je izpolnjen pogoj nesoglasja, nato pa v upoštevanem intervaluobstaja vsaj en koren g (x) = 0.

Če ga želite najti, morate razdeliti segment [x₀, x₁] na pol in označite sredino kot x₂. Potem sta na voljo dve različici: g (x₀) * g (x₂) ali g (x₂) * g (x₁) so enaki ali manjši od 0. Izberite eno, za katerega je ena od teh neenakosti resnična. Postopek, opisan zgoraj, ponovite do dolžine [x₀, x₁] ne postane manj kot nekaj predhodno izbrane vrednosti, ki določa točnost določanja korena enačbe na [x₀, x₁].

Prednosti metode vključujejo njegovo zanesljivost in preprostost, prikrajšanost pa je potrebo po začetku identifikacije točk, pri katerih g (x) vzame različne znake, zato jih ni mogoče uporabiti za korenine, ki imajo celo številčnost. Poleg tega se ne posplošuje v primeru sistema enačb ali če gre za kompleksne korenine.

Primer 1

Želimo rešiti enačbo g (x) = 2x⁵ + x - 1 = 0. Da ne bi dolgo časa iskali ustreznega segmenta, konstruiramo graf s pomočjo, na primer, dobro znanim programom Excel. To vidimo kot segment za lokalizacijo korena, zato je bolje vzeti vrednosti iz intervala [0,1]. Prepričani smo lahko, da na njem obstaja vsaj en koren želene enačbe.

g `(x) = 10x⁴ + 1, to je monotonsko naraščajoča funkcija, zato je v izbranem intervalu samo 1 koren.

Zamenjamo končne točke v enačbi. Imamo 0 in 1, oziroma. Na prvi stopnji vzamemo točko 0.5 za raztopino. Nato g (0,5) = -0,4375. Zato bo naslednji segment za delitev na polovici [0,5, 1]. Njena srednja točka je 0,75. V njej je vrednost funkcije 0,226. Upoštevamo segment [0,5, 0,75] in njegovo sredino, ki je v točki 0,625. Izračunamo vrednost g (x) pri 0,625. To je -0,11, to je negativno. Sklicujoč se na ta rezultat izberemo interval [0,625, 0,75]. Dobimo x = 0,6875. Potem g (x) = -0.00532. Če je natančnost raztopine 0,01, lahko sklepamo, da je iskani rezultat 0,6875.

Teoretična podlaga

Ta metoda iskanja korenin po metodi Newtonovih tangenc je priljubljena zaradi njene zelo hitro konvergence.

Temelji na dejstvu, da če je x_n - približek korenu f (x) = 0, tako da je f C¹, potem bo naslednji približek na točki, kjer je enačba tangente na f (x) nič, tj.

Nadomestimo x = x_{n + 1} in nič y.

Potem metoda algoritma tangente izgleda takole:

Primer 2

Poskusimo uporabiti klasično metodo Newtonovih tangentov in poiskati rešitev neke nelinearne enačbe, ki je težko ali nemogoče najti analitično.

Naj bo potrebno identificirati korenine za x³ + 4x - 3 = 0 z določeno natančnostjo, na primer 0,001. Kot je znano, graf katerekoli funkcije v obliki polinoma neparne stopnje mora vsaj enkrat prečkati os OX, to pomeni, da ni nobenega dvoma o obstoju korenin.

Preden rešimo naš primer z metodo tangenc, zgradimo graf f (x) = x³ + 4x - 3 točke. To je zelo enostavno, na primer z uporabo Excelovega miznega procesorja. Iz pridobljenega grafa je razvidno, da se na [0,1] pojavi njeno presečišče z osjo OX, funkcija y = x³ + 4x - 3 monotonsko poveča. Lahko smo prepričani, da na [0,1] enačbe x³ + 4x - 3 = 0 ima rešitev in je edinstvena.

Algoritem

Vsaka rešitev enačb s tangentno metodo se začne z izračunom f `(x). Imamo:

Potem bo drugi derivat imel obliko x * 6.

Z uporabo teh izrazov lahko zapišemo formulo za iskanje korenin enačbe po metodi tangenc v obliki:

Nato moramo izbrati začetno aproksimacijo, torej preučiti, katera točka je izhodišče (vol x₀) za iterativni proces_. Upoštevamo konce [0,1]. Za nas je primeren, za katerega je pogoj večvalentnosti funkcije in njenega drugega izpeljanka v x₀. Kot vidimo, ko je x substituiran₀ = 0 je kršena, vendar x₀ = 1 je zelo primeren.

Torej, kako

potem, če nas zanima rešitev z metodo tangenc z natančnostjo e, potem vrednost x_n lahko velja, da izpolnjujejo zahteve problema, pod pogojem, da je neenakost | f (x_n) / frsquo- (x_n) |< e.

V prvem koraku rešitev problema z tangente imamo:

• x₁ = x₀ - (x₀³ + 4x₀ - 3) / (3x₀² + 4) = 1 - 0,2857 = 0,71429;
• ker stanje ne drži, gremo dlje;
• dobimo novo vrednost za x₂, kar je 0,674;
• ugotavljamo, da je razmerje med vrednostjo funkcije in njenim derivatom v x₂ manj kot 0,0063, ustavimo postopek.

Metoda tangenc v Excelu

Reševanje prejšnjega primera je lahko veliko lažje in hitrejše, če računov ne opravljate ročno (na kalkulatorju), temveč uporabite zmogljivosti procesorja z Microsoftovimi tabelami.

Če želite to narediti v "Excelu", morate ustvariti novo stran in izpolniti svoje celice z naslednjimi formulami:

• v C7 pišemo "= DEGREE (B7-3) + 4 * B7 - 3";
• v D7 vnesemo "= 4 + 3 * DEGREE (B7-2)";
• v E7 pišemo "= (DEGREE (B7-3) - 3 + 4 * B7) / (3 * DEGREE (B7-2) + 4)";
• v D7 vnesemo izraz "= B7 - E7";
• v B8 vnesemo formula-condition «= IF (E7 < 0,001 - "Dokončanje iteracij" - D7) ".

Nadalje je treba "raztegniti" formule v stolpcih C, D in E v prvi do dve vrstici in po tem, ko se vrednosti pojavijo v njih, narediti enako s stolpcem B.

V konkretni nalogi se v celici B10 pojavi sporočilo »Dokončanje iteracij« in za rešitev problema bo potrebno številko zapisati v celici, ki se nahaja v eni vrstici višje. Zanj je mogoče razlikovati in ločeno "raztegljiva" stolpcu, je pogoj formula, tipkanje, po katerih rezultat bo napisana, če je vsebnost v določeni celici stolpca B postane "konec procesa."

Izvedba v Pascalu

Poskusimo dobiti rešitev nelinearne enačbe y = x⁴ - 4 - 2 * x metoda tangente v Pascalu.

Uporabljamo pomožno funkcijo, ki bo pripomogla k približnemu izračunu f `(x) = (f (x + delta) - f (x)) / delta. Kot pogoj za dokončanje iterativnega procesa izberemo neenakost | x₀-x₁| |< ni majhnega števila. V Pascalu ga napišemo kot abs (x0 - x1)<= epsilon.

Program je pomemben, ker ne zahteva ročnega izračuna izpeljanega finančnega instrumenta.

Metoda akordov

Poglejmo še en način odkrivanja korenin nelinearnih enačb. Postopek iteracije je, da kot zaporedna približanja želenemu korenu za f (x) = 0, vrednosti točk presečišča tetive s abscisi končnih točk a in b z OX, označeno kot x₁, ..., x_n . Imamo:

Za točko, kjer se akord preseli na os OX, je izraz napisan kot:

Naj bo drugi derivat pozitiven za χ e [a, b] (nasprotni primer se sklicuje na obravnavani primer, če napišemo f (x) = 0). V tem primeru je graf y = f (x) spodaj prikazana krivulja in se nahaja pod akordom AB. Obstajajo dva primera: ko ima funkcija pozitivno vrednost v točki a ali je negativna v točki b.

V prvem primeru, kot stacionarni, izberemo konec a in za x₀ upoštevajte točko b. Nato zaporedna aproksimacija, glede na zgoraj predstavljeno formulo, tvorita zaporedje, ki se monotonično zmanjša.

V drugem primeru je konec b nepremostljiv za x₀ = a. Vrednosti x, dobljene na vsakem koraku iteracije, tvorijo zaporedje, ki se monotonično poveča.

Tako lahko navedemo, da:

• določen v metodi akordov, je konec segmenta, kjer znaki funkcije in njen drugi derivat ne sovpadajo;
• približki za koren x - x_m Leži od nje na strani, kjer ima f (x) znak, ki ne sovpada s znakom f (x).

Ponovitve se lahko nadaljujejo, dokler niso izpolnjeni pogoji za bližino korenin pri tej in prejšnji ponovitvi koraka modulo abs (x_m - x_m - ₁)< e.

Spremenjena metoda

Kombinirana metoda akordov in tangenc vam omogoča, da nastavite korenine enačbe in jih približate z različnih strani. Takšna vrednost, pri kateri graf f (x) prečka OX, omogoča, da raztopino raztopite veliko hitreje kot za vsako od metod posebej.

Denimo, da moramo najti korenine f (x) = 0, če obstajajo na [a, b]. Uporabite lahko katero koli od zgoraj opisanih metod. Vendar je bolje poskusiti njihovo kombinacijo, zaradi česar se bo natančnost korena močno izboljšala.

Primer se obravnava z začetnim približevanjem, ki ustreza pogoju, da sta prvi in ​​drugi derivati ​​na določeni točki x drugačen znak.

V takih razmerah rešitev nelinearnih enačb po metodi tangenc omogoča, da najdemo koren s presežkom, če je x₀= b, in metoda, ki uporablja akorde s fiksnim koncem b, vodi k iskanju približnega korena z napako.

Uporabljajo se naslednje formule:

Zdaj je treba iskati koren x v intervalu [a₁, b₁]. Naslednji korak je uporaba kombinirane metode za ta segment. Na ta način dobimo formule oblike:

Če sta prvi in ​​drugi derivat različen, se na podoben način argumentirajo za izboljšanje korena, dobimo naslednje formule za ponovitev:

Kot pogoj je ocenjena neenakost | b_n+1 - a_n+1| |< e. Z drugimi besedami, v praksi je treba poiskati rešitev z uporabo dveh metod, vendar je pri vsakem koraku potrebno ugotoviti, koliko so dobljeni rezultati med seboj blizu.

Če je zgornja neenakost resnična, potem kot koren nelinearne enačbe v danem intervalu vzamemo točko, ki je točno na polovici med rešitvami, ki jih najdemo na določeni stopnji ponovitve.

Kombinirana metoda se enostavno izvaja v okolju TURBO PASCAL. Pri veliki želji je mogoče izvesti vse izračune po metodi tabele v programu "Excel".

V slednjem primeru se izberejo več stolpcev, ki rešujejo problem s pomočjo akordov in ločeno za metodo, ki jo predlaga Isaac Newton.

V tem primeru se vsaka vrstica uporablja za zapisovanje izračuna na določeni stopnji ponovitve z uporabo dveh metod. Nato na levi strani območja odločanja na aktivni delovni strani izbere stolpec, v katerem je vpisan rezultat izračuna razlike modulov vrednosti naslednjega iteracijskega koraka za vsako od metod. Še ena se lahko uporabi za vnos rezultatov izračunov z uporabo formule za izračun logične konstrukcije "IF", ki se uporablja za ugotavljanje, ali je pogoj izpolnjen ali ne.

Sedaj veste, kako rešiti kompleksne enačbe. Metoda tangenc, kot ste že videli, je zelo preprosta, tako v Pascalu kot v Excelu. Zato lahko vedno določite korenine enačbe, ki je težko ali nemogoče rešiti s pomočjo formul.