Enačbe iracionalne in načine za njihovo reševanje

Študentje algebre, šolarji pridejo po enačbah številnih vrst. Med tistimi, ki so najpreprostejši, lahko pokličete linearne, ki vsebujejo eno neznano. Če je spremenljivka v matematičnem izrazu v določeni meri dvignjena, se enačba imenuje kvadratna, kubična, biquadratična in podobno. Ti izrazi lahko vsebujejo racionalne številke. Vendar pa obstajajo tudi iracionalne enačbe. Od ostalih se razlikujejo po prisotnosti funkcije, pri kateri je neznano pod znakom radikalov (to je povsem zunanja spremenljivka, ki je zapisana pod kvadratnim korenom). Rešitev iracionalnih enačb ima svoje značilne lastnosti. Pri izračunu vrednosti spremenljivke, da bi dobili pravi odgovor, jih je treba upoštevati.

"Neizrekljive besede"

Ni skrivnost, da starodavni matematiki deloval predvsem z racionalnimi številkami. Taki, kot vemo, so celi, izraženi skozi navadne in decimalne periodične frakcije, predstavniki te skupnosti. Vendar pa so se znanstveniki iz Bližnjega in Srednjega Vzhoda, pa tudi iz Indije, razvili trigonometrija, astronomija in algebra, nerazumne enačbe. Grki so na primer poznali te količine, vendar so jih v besedni obliki uporabljali izraz "alogos", kar pomeni "neizrečeno". Nekaj ​​časa so jih Evropejci, ki jih posnemajo, imenovali takšne številke "gluhi". Od vseh drugih se razlikujejo po tem, da jih je mogoče predstavljati le v obliki neskončnega neperiodičnega dela, katerega končni numerični izraz je preprosto nemogoče dobiti. Zato so pogosteje taki predstavniki s področja števila zapisani v obliki števil in znakov kot neki izraz, ki je pod koren druge ali večje stopnje.

Na podlagi zgoraj navedenega poskusimo opredeliti iracionalno enačbo. Takšni izrazi vsebujejo tako imenovane "neizbrisne številke", napisane s kvadratnim korenom. Predstavljajo lahko vse vrste precej zapletenih variant, vendar so v najpreprostejši obliki prikazane na spodnji sliki.

Ko se obrnemo k rešitvi iracionalnih enačb, je najprej treba izračunati obseg dopustnih vrednosti spremenljivke.

Ali ima smisel smisel?

Nujnost preverjanja pridobljenih vrednosti izhaja iz lastnosti aritmetičnega kvadratnega korena. Kot veste, je tak izraz sprejemljiv in ima določen pomen le pod določenimi pogoji. V primeru enakega korena morajo biti vsi podrejeni izrazi pozitivni ali enaki nič. Če ta pogoj ni izpolnjen, se predstavljeni matematični zapis ne more šteti za smiseln.

Podali bomo konkreten primer reševanja iracionalnih enačb (na spodnji sliki).

V tem primeru je očitno, da navedenih vrednosti ni mogoče izpolniti za nobene vrednosti, ki jih zahteva predpisana količina, saj se izkaže, da je 11 le-x 4. To pomeni, da je lahko samo Ø rešitev.

Metoda analize

Iz zgoraj navedenega postane jasno, kako rešiti iracionalne enačbe nekaterih vrst. Tukaj je lahko preprosta analiza učinkovit način.

Navajamo številne primere, ki to ponovno jasno kažejo (na spodnji sliki).

V prvem primeru, ko natančneje preučimo izraz, takoj postane jasno, da to ne more biti resnično. Pravzaprav je na levi strani enačbe potrebno pridobiti pozitivno število, ki nikakor ne more biti enako -1.

V drugem primeru se lahko šteje, da je vsota dveh pozitivnih izrazov enaka nič, le če sta x = 3 = 0 in x + 3 = 0 istočasno. Toda to je še nemogoče. Torej, odgovor bi moral ponovno napisati Ø.

Tretji primer je zelo podoben že obravnavanemu. Dejansko zato, ker tukaj pogoji DSA zahtevajo, da je izpolnjena naslednja absurdna neenakost: lex 2. Taka enačba ne more imeti nobenih zvočnih rešitev na enak način.

Neomejeno približevanje

Narava iracionalnosti je najbolj jasno in v celoti pojasnjena in poznana samo z neskončno serijo decimalnih števil. Natančen, živahen primer članov te družine je pi-in. Ne brez razloga se domneva, da je ta matematična konstanta znana že od antičnih časov, ki se uporablja pri izračunu oboda in površine kroga. Toda med Evropejci je prvič v praksi uporabil Anglež William William Jones in švicarski Leonard Euler.

Ta konstanta se pojavi kot sledi. Če primerjate različne dolžine okoli oboda, je razmerje med njihovo dolžino in premerom nujno enako enako številu. To je pi-in. Če ga izrazimo z navadno frakcijo, dobimo približno 22 ur. To je prvič naredil veliki arhimedec, katerega portret je prikazan na zgornji sliki. Zato ima podobno številko njegovo ime. Toda to ni očitna, temveč približna vrednost skoraj najbolj presenetljivih številk. Genialno znanstvenik v 0,02 našli želeno količino, ampak v bistvu je to konstanta ni realno vrednost, in je izražena kot 3,1415926535hellip- je neskončno število znakov, neskončno bliže mitski vrednosti.

Kvadrat kvadrat

Ampak naj se vrnemo k iracionalnim enačbam. Če želite najti neznano, v tem primeru zelo pogosto uporabljate preprosto metodo: postavijo oba dela obstoječe enakosti v kvadrat. Tak postopek običajno daje dobre rezultate. Ampak moramo upoštevati zvit iracionalnih vrednot. Vse korenine, ki izhajajo iz tega, je treba preveriti, ker morda niso primerni.

Vendar bomo še naprej razmišljali o primerih in poskusili najti spremenljivke na novo predlagan način.

Z Vietovim izrekom je zelo enostavno poiskati želene vrednosti količin po določeni obliki kvadratne enačbe kot rezultat določenih operacij. Tu se izkaže, da bo med koreninami 2 in -19. Vendar pri preverjanju, ki nadomesti pridobljeno vrednost v začetnem izrazu, lahko zagotovite, da nobena od teh koren ni primerna. To je pogost pojav v iracionalnih enačbah. Zato naša dilema še nima rešitev, odgovor pa mora navajati prazen niz.

Primeri so bolj zapleteni

V nekaterih primerih je treba kvadratirati obe deli izraza, ne enega, temveč večkrat. Upoštevajte primere, če je to potrebno. Spodaj so vidni.

Ko ste prejeli korenine, jih ne pozabite preveriti, ker je lahko še več. Pojasniti je treba, zakaj je to mogoče. Pri uporabi te metode je enačba nekako racionalizirana. Toda nezaželene nas korenin, ki preprečujejo proizvajajo aritmetično, kot če bi razširili obstoječi obseg vrednosti, ki je polna (kot lahko povedo) posledice. Predvidevamo, da opravljamo ček. V tem primeru obstaja možnost, da se prepriča, da je samo ena od korenin primerna: x = 0.

Sistemi

Kaj storiti v primerih, ko je potrebno rešiti sisteme iracionalnih enačb in nimamo enega, ampak dveh neznanih? Tu nadaljujemo na enak način kot v običajnih primerih, vendar ob upoštevanju zgornjih lastnosti danih matematičnih izrazov. In v vsaki novi nalogi, seveda, bi morali uporabiti ustvarjalni pristop. Toda spet je bolje upoštevati vse na konkretnem primeru, predstavljenem spodaj. Tukaj ni le potrebno najti spremenljivke x in y, temveč tudi v odgovoru navesti svojo vsoto. Tako obstaja sistem, ki vsebuje iracionalne količine (glej spodnjo sliko).

Kot lahko vidite, ta naloga ne predstavlja nobenega nadnaravno zapletenega. Potrebno je samo pokazati spretnost in uganiti, da je leva stran prve enačbe kvadrat vsote. Podobne naloge najdete v USE.

Iracionalno v matematiki

Vsakič, ko je potreba po ustvarjanju novih vrst številk nastala v človeštvu, ko mu manjka "prostor" za reševanje nekaterih enačb. Neveljavne številke niso nobena izjema. Kot pričajo dejstva iz zgodovine, so se prvič, veliki mudrici v VII. Stoletju opozorili na to še pred našo dobo. To je matematik iz Indije, znan kot Manav. Jasno je razumel, da je nemogoče izvleči koren iz nekaterih naravnih števil. Na primer, za to so 2-17 ali 61, pa tudi mnogi drugi.

Eden od pitagorejcev imenuje Hipas mislec, je prišel do enakega zaključka, poskuša izvesti izračune s številskimi izrazi Pentagram straneh. Odpiranje matematični elementi, ki jih ni mogoče izraziti v numerične vrednosti in nimajo lastnosti navadnih številk, je bil tako razjezil svoje kolege, ki so vrgli čez krov v morje. Dejstvo je, da so drugi Pitagoreci svoje razmišljanje upirali kot upor proti zakonom vesolja.

Radikalni znak: evolucija

Osnovni znak za izražanje numerične vrednosti gluhih števil je bil uporabljen za reševanje iracionalnih neenakosti in enačb daleč od vsega. Prvič so evropski, zlasti italijanski matematiki začeli razmišljati o radikalu okoli 13. stoletja. Hkrati za določitev, izumili za uporabo latinščina R. Toda nemški matematiki so svoje delo opravili drugače. Jih več kot črka V. simbolom germanij V The (2) kmalu razširila, V. (3), katerega namen je bil izraziti kvadratni koren 2, 3 in tako naprej. Kasneje so Nizozemci posredovali in spremenili znak radikala. In Rene Descartes je zaključil evolucijo, ki je znak kvadratnega korena na sodobno popolnost.

Znebiti se nerazumnega

Iracionalne enačbe in neenakosti lahko vključujejo spremenljivko ne samo pod znak kvadratnega korena. Lahko je katera koli stopinja. Najpogostejši način, kako se znebiti, je sposobnost dvigniti obe strani enačbe v ustrezno stopnjo. To je glavni ukrep, ki pomaga pri obravnavi iracionalnega. Ukrepi v enakih primerih se ne razlikujejo posebej od tistih, ki so jih že prej razstavili. Pri tem je treba upoštevati pogoje za negativnost radikandne ekspresije in na koncu rešitve je treba ekstremne vrednosti spremenljivk prikazati na način, ki je bil prikazan v že obravnavanih primerih.

Od dodatnih transformacij, ki pomagajo pri iskanju pravilnega odgovora, se pogosto uporablja množenje izraza v konjugatno, zato je pogosto potrebno tudi uvedbo nove spremenljivke, kar olajša rešitev. V nekaterih primerih, da bi našli vrednost neznane, je priporočljivo uporabiti grafi.